《歐拉選集》中三角函數與複數的關係

2020-12-05 電子通信和數學

前一篇《歐拉和拉格朗日筆下的三角級數以及重要的等式關係》中我們已經得到如下兩個等式

歐拉設z為無窮小，n為無窮大i，則v=nz=iz為有限數，z=v/i，從而sinz=v/i，所以cosz=1，我們帶入上式得到

我們都知道i是無窮大時，得到

因此令z=+v（-1）^1/2和z=-v（-1）^1/2，我們得到正弦餘弦與自然常數e的關係

上述兩個式子非常常見，也是第一次記載在歐拉的著作中。推導過程相當巧妙簡介

當i為無窮大時，n就為無窮小時，ni=z就是有限數，所以得到

帶入上式我們得到

前面《由牛頓二項式定理推導出任意對數函數的無窮級數》我們得到，

註：log（1+x）=In（1+x)

設y=1+x，根據上式我們得到

令y分別等於cosz+isinz, cosz-isinz,且i=(-1)^1/2 相加得到

相減得到

從而得到圓的弧完全可以用虛數的對數表示，其中log=In

相關焦點

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  • 歐拉公式怎麼寫_歐拉公式的意義
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  • 歐拉和拉格朗日筆下的三角級數以及重要的等式關係
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  • 有關三角函數與複數最基本的運用
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  • 最美的公式——歐拉公式
    因為參與公式的數字是如此的簡單，被運用的如此的廣泛，所以在有這些數字糾纏的方程中，歐拉公式就有可能被運用。事實也確實如此。她的應用廣泛到五湖四海：三角函數、傅立葉級數、泰勒級數、概率論、群論等，都有她的身影出現。
  • 算法之_歐拉公式
    引子看傅立葉變換的時候，一直奇怪，冪指數是怎麼映射成三角函數的？學習了一下歐拉公式，果然很神奇，用到了自然常數e，圓周率π，虛數i，三角函數sin/cos，指數，還有泰勒展開．倒不是算法有多難，只是涉及基礎太多，經常被卡住，總結如下．２.
  • 看得懂的複數--溯源複數的物理意義
    那個時候三角函數發明了，並且非常興起，而三角函數是典型的平面坐標體系，於是大家想到了用複平面來表徵三角函數，這個裡面，歐拉做了最大的貢獻，那就是歐拉公式:e^iπ+1=0。它把數的基本邏輯搞明白了，出來了完美的公式，而後期的傅立葉變換，大家也開始引入了正交複平面坐標系來表徵一維信號，發現得到了一個完美統一的表達方式：用正交複平面坐標系來描述，這個相對於常規的，用三角函數正交坐標系描述，在形式上更統一。但是，三角函數正交系（普通傅立葉變換）的表達都讓很多人暈乎了，何況還是的正交複平面坐標系，這個就導致了理解上的難度。
  • 「 歐拉 」 家族
    >在數學和計算機科學中，歐拉方法，命名自它的發明者萊昂哈德·歐拉，是一種一階數值方法，用以對給定初值的常微分方程（即初值問題）求解。‍‍歐拉公式 ( Euler's Formula )歐拉公式（Euler's formula，又稱尤拉公式）是複分析領域的公式，它將三角函數與復指數函數關聯起來
  • 最美公式歐拉恆等式,這一人類的至寶將e、i、π聯繫起來
    歐拉公式是什麼？為什麼歐拉公式被稱為世界上最完美的公式？下面我們就一起來了解一下吧。
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  • 進擊的複數
    在複數z=x+yi中，x=Re(z)稱為實部，y=Im(z)稱為虛部。當虛部b=0時，z可視為實數；當虛部b≠0而實部a=0時，z稱為虛數，或者純虛數。通過三角函數的運算可以簡單證明若z=re^(it)，w=pe^(is)，那麼zw=rpe^(i(t+s))。也就是說，兩個複數相乘所得到的複數，其模是兩個複數模的乘積，其幅角是兩個複數幅角的和。因此w乘以z，即為w的長度伸縮為原來的r倍，並將w逆時針旋轉角度t。
  • 數學界鮮為人知的神祗——歐拉
    1707年歐拉生於瑞士的巴塞爾，13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業，16歲獲碩士學位。平均每年寫出八百多頁的論文，是世界最多產的數學家，歐拉對數學的研究如此廣泛，因此在許多數學的分支中也可經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。1783年9月18日於俄國彼得堡去世。
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    1707年歐拉生於瑞士的巴塞爾，13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業，16歲獲碩士學位。平均每年寫出八百多頁的論文，是世界最多產的數學家，歐拉對數學的研究如此廣泛，因此在許多數學的分支中也可經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。1783年9月18日於俄國彼得堡去世。
  • 歐拉恆等式:完美的數學公式
    作為一個多產的數學家，歐拉貢獻不可估量，他提出了許多對現代數學不可或缺的概念。在歐拉的一生中，它出版了885份關於數學和其他學科的論文和書籍。即使是後來失明了，他仍然筆耕不輟。歐拉在失明之後還打趣地說：「現在我就更不會分心了。」 以勤奮著稱的歐拉，用他那驚人的記憶和心算能力彌補了視力的喪失。在歐拉一生豐碩的成果中，有一個以他名字命名的公式被譽為「上帝創造的公式」，那就是歐拉恆等式。
  • 從虛妄到真實—虛數的 200 年升級史,歐拉高斯都曾為其添磚加瓦
    一向擅長創造符號的歐拉，他在《微分公式》一文中第一次用 i 來表示-1的平方根。歐拉首創了用符號 i 作為虛數的單位。總算讓虛數在數學界有了一席之地，並且在號稱「上帝公式」的歐拉公式中運用了虛數符號。所以韋塞爾向丹麥科學院遞交論文《方向的解析表示，特別應用於平面與球面多邊形的測定》，他首先提出把複數用坐標平面上的點來表示，使全體複數與平面上的點建立了一一對應關係，形成了複平面概念。但當時沒有受到人們的重視，在當時的數學界並沒有掀起波瀾，不過在幾十年後，得到了數學王子高斯的認可，並且將其大力推廣。