從虛妄到真實—虛數的 200 年升級史,歐拉高斯都曾為其添磚加瓦

負數的產生源自於生活，比如我們做包子來賣，今天買材料花了 30 元，最終只賣了 15 元。那我們就是虧了 15 元，為了方便生活，人們就考慮了用相反意義的數來表示。從而在數學中引入了正負數這個概念。

生活中負數應用很廣泛

不過直到 16、17 世紀，歐洲還在為負數的合理性爭論不休，很多大數學家都認為負數並不存在，比如在概率論有過卓越貢獻的帕斯卡，就認為負數完全是瞎扯，0 怎麼可能減去 4 ，完全是腦子有毛病。

帕斯卡的朋友阿潤德甚至提出了一個有趣的說法來反對負數，他說（-1）：1=1：（-1），那麼較小的數與較大的數的比怎麼能等於較大的數與較小的數的比呢？甚至就連萊布尼茲也承認這種說法合理。

當然了，儘管人們一直逃避負數的存在，在解方程的時候，負數還是會不經意間跳出來。比如卡爾丹提出了著名的缺項三次方程求根公式。

缺項三次方程就是缺少 2 次項的方程，我們現在也叫一元三次方程，所以卡爾丹公式也就是關於一次三次方程的解法公式。當時卡爾丹只給出了一個解。但其實有三個解。

而在另外兩個解中，兩個兩次根號下面卻可能得到一個負值。因為它的三個解如下：

它得出的判別式是：

判別式的給定範圍不同，得出的結果也就不同。其中當：

時，就會得到一個實根，而另外兩個利用長除法得到的解則需要對負數開根號。然而在那個時候，對負數開根號對數學家來說是不可能的，所以他們就認為當它大於 0 的時候，其實就只有一個解。

直到 1572 年，義大利工程師邦貝利首次嘗試去解釋卡爾丹公式裡面出現的負數開根號的問題，他在自己出版的《代數學》中，他列舉了一個方程：x^3-15x+4=0

將它帶入卡爾丹公式之中，就會得到：

邦貝利巧妙地利用待定係數的辦法，把上面等式化解成：

最終，卡爾丹公式給出了不可約情況下的正確解：x=4。對負數開根號，居然可以加入運算，並且最還可以得到一個正確結果，這對當時的數學家起到了巨大的啟發作用。

到了 16 世紀下半葉，著名賭鬼數學家卡爾達諾在其著作《大術》中提出了最早的虛數符號： 1545R15-15m ，但他認為這僅僅是個形式表示而已，並沒有任何意義。他還嘗試把把負數的平方根寫到公式中。

有史以來第一位把自己算死的數學家

卡爾達諾在書中還探討是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等於40時，他把答案寫成

儘管他仍然認為這兩個表示式是沒有意義的、想像的、虛無飄渺的。

而到了笛卡爾手裡，在其《幾何學》中第一次給出「虛數」的名稱，並和「實數」相對應。因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字，所以笛卡爾對提出這個名稱。

不過，雖然笛卡爾提出虛數這一概念，一些數學家也開始接受虛數，但對於數學界來說還是新事物，加上當時沒有成熟知識系統，因此也引起了數學界的一片困惑，很多大數學家都不承認虛數。

再加上的確沒有什麼地方可以使用到虛數，而且也沒有什麼實際用處，所以在很長時間，虛數都處於一個非常尷尬的位置。

萊布尼茨就曾說到：虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱蔽所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物。

直到 1747 年，法國數學家達朗貝爾指出，如果按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算，那麼它的結果總是a+bi的形式（a、b都是實數），首次提出了複數的概念。

一向擅長創造符號的歐拉，他在《微分公式》一文中第一次用 i 來表示-1的平方根。

歐拉首創了用符號 i 作為虛數的單位。總算讓虛數在數學界有了一席之地，並且在號稱「上帝公式」的歐拉公式中運用了虛數符號。

挪威的測量學家韋塞爾在 1797 年就試圖給於這種虛數以直觀的幾何解釋，他發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。所以韋塞爾向丹麥科學院遞交論文《方向的解析表示，特別應用於平面與球面多邊形的測定》，他首先提出把複數用坐標平面上的點來表示，使全體複數與平面上的點建立了一一對應關係，形成了複平面概念。

但當時沒有受到人們的重視，在當時的數學界並沒有掀起波瀾，不過在幾十年後，得到了數學王子高斯的認可，並且將其大力推廣。

他在1799年、1815年、1816年對代數基本定理作出的三個證明中，都假定了複數和直角坐標平面上的點一一對應，不過一向謹慎的他直到1831年他才對複平面作出詳細的說明。

他說：「迄至目前為止，人們對於虛數的考慮，依然在很大的程度上把虛數歸結為一個有毛病的概念，以致給虛數蒙上一層朦朧而神奇色彩。我認為只要不把+1、-1、i 叫做正一、負一和虛一，而稱之曰向前一，反向一和側向一，那麼這層朦朧而神奇的色彩即可消失。」

虛數在複平面的位置

在這期間，德國數學家阿甘得在 1806 年公布了複數的圖象表示法，即所有實數能用一條數軸表示，同樣，複數也能用一個平面上的點來表示。在直角坐標系中，橫軸上取對應實數a的點A，縱軸上取對應實數b的點B，並過這兩點引平行於坐標軸的直線，它們的交點C就表示複數 。象這樣，由各點都對應複數的平面叫做「複平面」，後來又稱「阿甘得平面」。

簡而言之，複平面就是指虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面，複平面上每一點對應著一個複數。在阿甘得和高斯的努力下，複平面漸漸被數學家所接受。

複數平面

1932 年，高斯系統地完善了複數理論，他第一次提出了「複數」這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標法和極坐標法加以綜合。統一於表示同一複數的代數式和三角式兩種形式中，並把數軸上的點與實數一一對應，擴展為平面上的點與複數一一對應。高斯不僅把複數看作平面上的點，而且還看作是一種向量，並利用複數與向量之間一一對應的關係，闡述了複數的幾何加法與乘法。

複數理論的建立，讓在數學領域遊蕩了200年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗，顯現出它的本來面目。複數理論的建立解決了很多的問題。

比如最簡單 x^2+1=0 在此之前無法得出解，而在複數理論提出之後，人們提出了復根的概念去解決這類問題，復根就是複數根，複數是由實部和虛部構成的,實部是實數,虛部是純虛數。就是達朗貝爾提出的a+bi的形式。，後來，我們用符號C來表示複數集，用符號R來表示實數集。

虛數以及由其建立的複數理論在後來被數學家廣泛運用，複平面的完善，「一切數」都能在複平面中找到。

而且基於對虛數的研究，在十八世紀時，一門新的數學分支「複變函數」發展了起來它是研究以複數作為自變量和因變量的函數，複變函數在學以及工程技術科學等方面有著重要的作用。

而後來數學家通過對歐拉公式的研究，通過「虛i和π的積」做為「自然底數e」的指數，它將三角函數的定義域擴大到複數，建立了三角函數和指數函數的關係，在複變函數論裡佔有非常重要的地位。

在 20 世紀的作用虛數以及由其建立的複數理論發揮到了最大，在 20 世紀以來，發揮了巨大的作用，影響了量子力學與相對論，薛丁格方程的表達式就引入了虛數。

量子力學的核心方程就是薛丁格方程，它就好比是牛頓第二定律在經典力學中的位置。正是基於薛丁格方程的建立，之後才有了關於量子力學的詮釋，波函數坍縮，量子糾纏，多重世界等等的激烈討論。

為了定量地描述微觀粒子的狀態，量子力學中引入了「波函數」作為「薛丁格方程的解」，這個神奇的波函數用「複數」的形式能清晰地描述微觀粒子的狀態，著名的「波動力學」誕生。

除此之外，作為公式化數學和量子力學的關鍵性概念之一的希爾伯特空間也用到了複數理論。希爾伯特空間成為泛函分析中最重要的和最常用的一類空間，它在許多其他數學分支、理論物理和現代工程技術理論中，也得到了廣泛的應用。

希爾伯特

而弦理論的雛形是在1968年由Gabriele Veneziano基於歐拉公式發現的，這公式能夠成功的描述他所要求解的強作用力。進一步將這公式理解為一小段類似橡皮筋那樣可扭曲抖動的有彈性的「線段」是在不久後由蘇士侃所發現，這在日後則發展出「弦理論」。弦論是現在最有希望將自然界的基本粒子和四種相互作用力統一起來的理論。弦理論的提出歐拉公式中的虛數 i 發揮了重要的作用。

可以說，這個數學領域遊蕩了200年的幽靈慢慢進化，成為在數學王國不可或缺的神靈，並且在各個領域如物理學、電子信息工程等領域發揮著重要的作用。