在高中的數學課本中會出現一個非常奇妙的數——「虛數」。為什麼說虛數奇妙呢？因為，不管是正數還是負數，平方（自己與自己相乘）之後一定會得到正數。但虛數的平方卻是負數。這樣的數，好像在日常生活中並不存在吧。
那麼，為什麼要學虛數呢？那是因為在數學裡，虛數具有極其重要的作用。實際上，如果沒有虛數，數的世界就會變得不完整。另外，對於探明微觀世界的「量子力學」來說，虛數也是不可或缺的。
虛數不虛：從虛幻到實用
人們研究虛數的動力來自一元三次方程的根式求解。中學都學過一元二次方程的根式求解，其中最關鍵的方法就是配方法。如果遇到x2＋1＝0的情形，人們會認為該方程無解，不予深究和討論。當人們掌握了一元二次方程的根式求解方法後，自然想知道三次、四次方程是否也能進行根式求解。
在16世紀，數學家們開始探討這個問題，並找到了一種方法將三次方程的求解化為二次方程的求解。比如，遇到x3＝15x＋4這種三次方程，就可以將求解問題轉化為「兩個數的和等於4，乘積等於125」這樣的二次方程的求解問題。顯然，由於該二次方程的判別式小於0，故在實數域中無解。但是，這個三次方程顯然有一個實數解，即x＝4。於是，這種矛盾的存在就促使人們引進了虛數及其四則運算，通過對轉化的二次方程引入虛數解而得到三次方程的實數解。
虛數引進後，在數學界引起不小的爭議。一些著名數學家，如笛卡爾、牛頓、納皮爾（對數的引進者）等不承認虛數。比如，笛卡爾認為這種數是「想像中的數」，因此將其命名為imaginaire，但也有數學家如棣莫弗、歐拉等開始積極使用虛數，並建立了棣莫弗公式和歐拉公式，從而將三角函數和指數函數聯繫在一起。目前普遍使用的純虛數單位i就是由歐拉引入的。
但「虛數是否具有實際的意義」這個問題仍困惑著當時的數學界。直到數學家發現虛數的幾何與向量解釋，特別是數學家高斯，將這類數命名為複數，提出了複平面的概念，給出了複數在現實世界中的可視化表示，從而結束了這場爭議。正如實數對應於一條直線上的點（實軸），複數對應的是平面中的點（複平面）。複數有大小有方向，與力、速度、加速度等物理量的向量特徵吻合，這為複數在實際中的應用埋下了天然伏筆。
複數具有同實數相同的四則代數運算及運算規律。但與實數不同的是，複數對開方運算也是封閉的（代數閉域）。複數域上n次多項式方程恰有n個根，這被稱為「代數基本定理」。複數有豐富的代數、幾何、度量、拓撲結構，複數間的映射還可以探討連續、光滑、解析等分析結構。結合微積分，人們在19世紀建立了神奇美妙的複變函數論。20世紀，又產生了多複變函數論與復幾何這些現代數學的核心領域課題。
複數的引入，不但對數學本身的發展有著極其重要的意義，而且對科學、技術、工程的發展也起到了非常重要的作用。高斯、庫默爾利用複數研究平方和問題與費馬大定理。黎曼利用複變函數研究素數分布問題。雖然這些數論問題看起來與複數毫無關係，但卻都能利用複數探索解決的方法。僅在蘇聯出版的《複變函數論方法》一書中，就列舉了複變函數論在流體力學、氣體動力學、彈性理論、電磁學、電工學、電路計算、機翼設計、地下水、堤壩設計等科學與工程問題中的重要應用。而複分析與復幾何則能幫助我們從更基礎的層面認知自然世界及時空的概念。
從「虛幻」到「實用」，「虛數」其實不虛，由此而來的複數與複變函數更是具有神奇的作用。複變函數已成為大學理工科的必修科目。虛數本是為構建科學知識體系而引入的，引入時既無實際應用背景，也無實際應用需求。但現在看來，沒有虛數，現代數學知識體系將嚴重殘缺不全。
我們應重視「無用之用」的科學研究。莊子曰：「人皆知有用之用, 而莫知無用之用也」。複數的研究正是「無用之用」的研究。古人說的「探賾索隱，鉤深致遠」和「格物致知」道出了科學研究的真諦。科學研究正是從已知探索未知以求新知，構建科學知識體系。正如徐光啟所說「無用之用，眾用之基」，「無用之用」的科學研究，正是通過所構建的科學知識體系，而成為許多實用技術的基礎與源頭，不斷造福人類。