數學是從生產生活中誕生的，隨著數學的發展，逐漸超出了人們的想像。虛數就是數學發展過程中的一個典型例子，不過，直到今天，仍有很多小夥伴對虛數表示難以理解。本文，就與您一起來聊聊虛數其實不虛。
一、現實中不應該存在的數
假設有一塊邊長為5米的正方形土地，現在想把這個土地擴大出39平方米並且仍舊是正方形。其實這個題目很簡單，初中生應該都會，就是求方程（5+x）^2=25+39的根。最後得到的結果是x=3或x=-13。根據題意，可以得到x=3，因為邊長不能是負數，所以-13是無效解。
如果前面這個例子還可以理解，那麼下面這個方程就無法接受了。x^2+2x+2=0，為了求解x我們把方程變換一下(x+1)^2=-1。很明顯，這個題目如果在實數範圍內是做不下去的。什麼數的平方會是負數呢？
這個能平方後能產生負數的方程曾經在很長一段時間裡困擾著數學家們，萊布尼茲就曾經認為，這是數學解析中的一個奇異，在現實中的是不存在的，所以就把它稱作了虛數。
二、現實中的虛數意義
我們現在知道-1的平方根是i，讓我們一起來探索一下i的性質。考慮在一根數軸上的實數，1、2、3……，如果把它們乘以-1就得到-1、-2、-3……。這些數相當於是原來那個數以原點為中心旋轉180度。由於i^2=-1，這意味著，一個數兩次乘以i旋轉了180度。
換句話說，就是一個實數如果乘以一個i意味著旋轉了90度。我們把一個實數乘以i之後的數叫做純虛數，它位於與實數軸垂直的虛數軸上。方程x^2-6x+25=0有兩個根，x=3±4i，這兩個根就是在由實數數軸，以及與實數數軸垂直的虛數數軸構建的平面上的兩個點相對應。我們把實數+實數i這種結構的數叫做複數。
很明顯，複數的這個特點意味著這是一個超越了只有正負兩個方向的實數，是一個能描述平面上所有點的方向的更廣義上的數。虛數i的意義就在於與實數一起構建了一個向量空間，複數描述了這個空間中的點距離原點的距離和離開實數正方向所偏轉的角度。
對於一個複數z=a+bi，其距離原點的距離為r=（a^2+b^2）^(1/2)，其偏轉角度為θ，tanθ=b/a。r被稱為z的絕對值，用|z|來表示，θ叫做z的輻角，用arcz表示。
三、虛數（複數）與物理學
物理學中經常要計算質點的位移，有了複數這種處理就簡單了很多。舉個例子，某質點在t1時刻其複平面內的位置為r1=2+3i，t2時刻的位置為r2=5+3i，求t1、t2時刻中位移的變化Δr。其實也很簡單，r2-r1=3。意味著，在這個時刻內，這個質點沿著實數軸的正方向移動了3個單位，而在虛數軸正方向位置保持不變。
由於不是數學內容，所以這裡簡單總結一下複數運算的物理意義。複數的加減法其實就是分別沿著實數軸和虛數軸的平移，而複數的乘除法其實就是複數的伸縮和旋轉。正是因為複數的這種性質，所以複數很自然地被應用於物理學當中。
在GPS導航中，複數被用於計算和描述交通工具所處的位置及位置變化信息。由於複數不僅有大小（距離）而且還包含輻角，所以也被用於描述很多周期性的變化運動當中，尤其是在電磁學當中有著非常廣泛的應用，後來更被應用於量子力學當中。
如今，複變函數是物理專業學生的基本計算技能，是物理系本科生，數學科目中的必修課。
結束語
虛數的應用還有很多，本文只是點到為止。我們需要記住的是，從數的角度來說，虛數拓展了數的空間，解決了很多高次方程的數學解的意義問題，而且還能解決很多幾何問題。當然了，從物理的角度來說，它與實數一起構建了一個能夠描述空間任意點的距離和方向的複數空間。任何與距離和方向有關的量都可以用複數來表示，而這正是物理要解決的基本問題。
很顯然，虛數不「虛」，小夥伴們，你們GET到這個點了嗎？關於虛數還有哪些實際應用，歡迎在下面的留言區中評論參與。
文/科學塢 圖片來自網絡侵刪。