【數學探索】虛數i

2021-03-01 攀登學之巔

想必大家對「i」這個字母都非常清楚吧 今天我們就來具體聊聊「i」在數學中，虛數就是形如a+bi的數（a、b∈R且b≠0）。虛數這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創立，當時的觀念認為這是真實不存在的數字。虛數a+bi的實部a可對應平面上的x軸，虛部b與對應平面上的y軸，這樣虛數a+bi可與平面內的點(a,b)對應。i的平方-1是一個負數，會不會存在一個數的平方是i呢？首先我們先引入複平面上點M的一種新表示方法---三角法∴M可以表示為fcosα+ifsinα或f*e^iα好了，有了上面的知識鋪墊，我們來看看如何計算出那個平方為i的數吧！所以點I可以表示為1*cos（π/2）+1*sin（π/2）或e^i（π/2）設滿足z^2=i的點Z可表示為l*（cosθ+i*sinθ）或l*e^iθ （l＞0）所以Z1=√2*（i+1）/2  Z2=-√2*（i+1）/2 即為所求可以得出Z=1、（-1+√3*i）/2、（-1-√3*i）/2同樣的，在求方程z^k=1的根時，都可以先以原點O為圓心，單位長度為半徑作圓，再以（1,0）為頂點構造正k邊形，那k個頂點就是滿足z^k=1的k個根

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相關焦點

  • 神奇的「虛數i」,為何讓數學擁有如此迷人魅力?
    「虛數i」的發現在數學史上有著舉足輕重的作用。「虛數i」到底是什麼？為何如此神奇？到底有哪些重要作用？這還得從看似平常卻作用巨大的「數軸」說起！在初中的數學學習中，「數軸」是學習數學的重要工具。由於虛數被發現，在十八世紀時，一門新的數學分支「複變函數」發展了起來，用於研究「複平面」上的函數。複變函數以「複數為變量」，用於分析函數的規律與變化，其內容豐富，實用性極強，被用於「流體力學」和「航空動力學」，解決了飛機機翼的結構問題。
  • 虛數到底有什麼意義?從 i 說起
    所以，我們可以知道，虛數 i 就是逆時針旋轉90度，i 不是一個數，而是一個旋轉量。二複數的定義既然 i 表示旋轉量，我們就可以用 i ，表示任何實數的旋轉狀態。將實數軸看作橫軸，虛數軸看作縱軸，就構成了一個二維平面。旋轉到某一個角度的任何正實數，必然唯一對應這個平面中的某個點。
  • 虛數 i 真的很「虛」嗎?
    導語：在之前的文章《最美公式（一）：e與自然》中，我們提到了歐拉公式中的五個基本量之一——虛數 「i」。所謂的「虛數」到底是一個怎樣的概念，它又有怎樣的性質與意義呢？今天，小編為大家帶來的這篇文章將向讀者們講述一個關於 「i」 的故事。直觀理解虛數虛數的概念也曾困擾著我，就像自然常數e 一樣，詳情請見: 《最美公式（一）：e與自然》。
  • 虛數i真的很「虛」嗎?
    在說虛數(Imaginary Numbers)之前，應該先提大家更加熟悉的一個概念，那就是負數(Negative numbers)。而希帕索斯卻發現了令人震驚的「無限不循環小數」，即無理數，令該學派感到恐慌，並引發了第一次數學危機。有傳言說最終希帕索斯被自己的老師畢達哥拉斯(Pythagoras)判決淹死。也有說法是被學派門人丟進海裡淹死。
  • 真實的虛數,不僅不是沒用,而且還很實在
    數學是從生產生活中誕生的，隨著數學的發展，逐漸超出了人們的想像。虛數就是數學發展過程中的一個典型例子，不過，直到今天，仍有很多小夥伴對虛數表示難以理解。本文，就與您一起來聊聊虛數其實不虛。這個能平方後能產生負數的方程曾經在很長一段時間裡困擾著數學家們，萊布尼茲就曾經認為，這是數學解析中的一個奇異，在現實中的是不存在的，所以就把它稱作了虛數。二、現實中的虛數意義我們現在知道-1的平方根是i，讓我們一起來探索一下i的性質。考慮在一根數軸上的實數，1、2、3……，如果把它們乘以-1就得到-1、-2、-3……。
  • 何為虛數？以及關於它的 5 個數學事實
    至少，它還未被定義，直到數學家並發明了虛數來進行定義！現在你知道它們是什麼了，下面 5 個是我認為關於虛數最有趣的事實！在虛數分數中，i 究竟是在分子中還是分母中是很重要的。如果你考慮(-1)這個數，在分數形式的情況下，不管你是用(-1)/1 還是 1/(-1) 來考慮它，其結果都是(-1)。但對 i 來說事實並非如此！我來問你們，你們認為這個分數是多少?
  • 虛數的現實、物理意義是什麼?
    ：i^2 = (-1)這個式子很眼熟，它就是虛數的定義公式。所以，我們可以知道，虛數 i 就是逆時針旋轉90度，i 不是一個數，而是一個旋轉量。二、複數的定義既然 i 表示旋轉量，我們就可以用 i ，表示任何實數的旋轉狀態。
  • 虛數單位i是什麼意思(二)
    仍然按照你所知道的，我們實際上有東西專門描述直角，這就是虛數單位i。至少在複平面上，a和bi是互相垂直的。實際上不在複平面上，他們也是「互相垂直的」。換句話說，與其說複平面定義了實數和虛數互相垂直，還不如說，實數和敘述的虛實差異，定義了垂直。
  • 敘事的藝術:《虛數的故事》前言賞析
    《虛數的故事》是納欣教授1998年的作品，是到目前為止，了解虛數歷史的公認最佳讀物。不同於其他以故事為主的科普讀物，本書沒有迴避嚴格的數學推導，從解二次方程出發，一直談到復函分析。記得有人曾經講過，書本每增加一條數學公式，讀者數量就減少1%。而本書的公式推導那麼多，估計令很多讀者翻了兩頁之後，就合上不看了。於是，前言部分的好故事，也就少有問津了。
  • 既然虛數不存在,為什麼還要學它呢?
    在高中的數學課本中會出現一個非常奇妙的數——「虛數」。為什麼說虛數奇妙呢？因為，不管是正數還是負數，平方（自己與自己相乘）之後一定會得到正數。但虛數的平方卻是負數。這樣的數，好像在日常生活中並不存在吧。那麼，為什麼要學虛數呢？那是因為在數學裡，虛數具有極其重要的作用。
  • 何為虛數?以及關於它的 5 個數學事實
    至少，它還未被定義，直到數學家並發明了虛數來進行定義！虛數和實數沒什麼兩樣，不過是實數概念的延伸，有個虛數單位 ，或者說 。任一複數其中既有實部也有虛部，通常用表示，複數直接同樣可以進行加減乘除，總而言之，複數系統是一個域。現在你知道它們是什麼了，下面 個是我認為關於虛數最有趣的事實！1.
  • 虛數i開根號之後是什麼?
    我們知道i2=-1，但是√i等於什麼？我們知道，一個複數可以在複平面用一個點來表示，如A（0，i）、B（1,0）、C（√2/2，√2/2i），也可以寫成A=i、B=1、C=√2/2+√2/2i，見下圖。
  • 虛數是個啥,它的由來
    有理數和無理數統稱為實數，但還有一類數，叫虛數。那虛數是個啥？我們先看看虛數的來歷。16世紀的歐洲數學界對負數該不該有平方根展開了爭議。我們知道一個非負數是有平方根的，那麼，有沒有一 個數可以作為負數的平方根呢？
  • 何為虛數?以及關於它的 5 個有趣事實
    至少，它還未被定義，直到數學家並發明了虛數來進行定義！虛數和實數沒什麼兩樣，只不過可以乘以 i——或者說 √-1。數字也可以是複數，其中既有實部(a)也有虛部(b)，通常用(a + bi)表示。現在你知道它們是什麼了，下面 5 個是我認為關於虛數最有趣的事實！
  • 從虛妄到真實—虛數的 200 年升級史,歐拉高斯都曾為其添磚加瓦
    從而在數學中引入了正負數這個概念。直到 1747 年，法國數學家達朗貝爾指出，如果按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算，那麼它的結果總是a+bi的形式（a、b都是實數），首次提出了複數的概念。一向擅長創造符號的歐拉，他在《微分公式》一文中第一次用 i 來表示-1的平方根。歐拉首創了用符號 i 作為虛數的單位。
  • 數學裡最美的恆等式——歐拉恆等式
    比較公認的觀點是著名的歐拉恆等式e^(iπ)+1=0，因為這個公式精簡卻無比美妙。e、i、π、1、0不正是數學中最常見、最重要的五個常數嗎？萊昂哈德·歐拉是18世紀最偉大的數學家之一，也是人類歷史上最傑出的數學家之一。作為一個多產的數學家，歐拉貢獻不可估量，他提出了許多對現代數學不可或缺的概念。在歐拉的一生中，它出版了885份關於關於數學和其他學科的論文和書籍。
  • 虛數究竟虛不虛?在電學中有什麼用
    於是，數學家創造了一個神奇的數，叫做i，並定義：i = -1i就被稱為虛數單位。顯然，x = ±( √i × √4 )因此，x = 2i，或者 x = -2i這樣一來，負數就可以開方了，圓滿的結局。複數2是實數，i是虛數單位，合在一起的2·i就是虛數。實數 + 虛數就成了複數。
  • 90周年校慶接力 | e^(iπ)+1= 0 ——為母校送上最美麗的數學公式
    在這盛大的90周年來臨之際，小編也母校送上了數學中最美的公式——e^(iπ)+1= 0。那麼，為什麼稱之為最美呢？看，它將數學中最重要的那幾個常數都聯繫到了一起。0、1、e、π、i，其中，0、1代表了算術，那最古老、最基本的數學分支；e代表了分析學；而圓周率π可以代表幾何；還有虛數單位i表示的是代數。
  • 虛數如此重要,幸好人類沒錯過,不然21世紀的自然科學將無法繼續
    回顧整個數學的發展史，每向前一步，都是那麼的艱辛坎坷和驚心動魄。為了數學的發展，數學家們耗盡了一生的心血，甚至為此付出了寶貴的生命。「數系」的第一次具有劃時代意義的擴充，是將「無理數」納入「實數系」，希帕索斯為此付出了生命的代價。希帕索斯的發現是極為重要的，他第一次向人們揭示了「有理數系」的缺陷，也引發了人們對「連續統」概念的深度思考。
  • 超越光速後時間是如何變成虛數的
    for (int i = 1; i < 32; i++){for (int j = 1; j <= i; j++){double gr = CalculateGoldenRatio(i, j, 1000)}