何為虛數？以及關於它的 5 個數學事實

2020-11-15 遇見數學

有時候，人類科學的發展需要超越傳統的思維方式。在 20 世紀早期，物理學上的兩次革命——愛因斯坦的相對論(首先是狹義的，然後是廣義的)和量子力學——帶來了對數學的需求，而所需要的工具僅用實數是滿足不了的。從那時起，由實部和虛部組成的複數就與我們對宇宙的理解不可分割地糾纏在一起。

從數學上講，當我們想到數字時，可以想到幾種不同的分類方法：

  • 可數數字：1、2、3、4，等。這樣的數字有無數個。
  • 自然數：0、1、2、3 等。這些數與可數數相同，但同時包括零。
  • 整數：…,3,2,1,0,1,2,3, 等。這看起來可能不多，但認識到我們可以有負數是一個巨大的突破，而且負數和正數一樣多。整數包括所有的自然數和它們的負數。
  • 有理數：可以表示為一個整數除以另一個整數的任何數字。這包括所有的整數(可以表示為它們本身除以 1)以及每個整數之間無窮多的有理數。任何無限循環的小數都可以用有理數來表示。
  • 實數：包括所有的有理數以及所有的無理數，比如非完全平方的平方根，π，以及其他的無理數。任何有理數和任何無理數的和都是無理數，但兩個無理數的和可能是有理數。

但是，儘管正數的平方根是實數，負數的平方根卻沒有明確的定義。至少，它還未被定義，直到數學家並發明了虛數來進行定義！

虛數和實數沒什麼兩樣，只不過可以乘以 i——或者說 √-1。數字也可以是複數，其中既有實部(a)也有虛部(b)，通常用(a + bi)表示。

現在你知道它們是什麼了，下面 5 個是我認為關於虛數最有趣的事實！

1. i 的平方根既有實部也有虛部

一個負實數的平方根是純虛數，但一個純虛數的平方根必須同時有實部和虛部！下面是你證明自己的方法。你需要某個數的平方等於 √(-1)。假設它有一個實部 x 和一個虛部 y，所以我們可以把它寫成(x + yi)，然後我們可以算出 x 和 y 的值是多少。

兩邊同時平方


現在我們讓實部與實部對應，虛部與虛部對應。


通過這兩個方程，我們可以把右邊方程的 x 代入左邊方程，


然後，我們便可以解出 y：

如你所見，有兩種可能的解，如果我們用方程的右邊(虛部)來解 x(兩種情況下 y 的值都一樣)，我們得到兩個解：

這就引出了下一個有趣的事實…

2. i 的任意根有多個不相同的解，N 次根有 N 個不相同的解

對於正實數，開方(即，第二個根)會給出兩種可能的解：正的和負的。例如，√(1)可以是+1，也可以是-1，因為任意一個的平方都是 1。

但對於 i，也就是 √(-1)，如果你想求根，你需要做一個多項式方程，就像我們上面做的那樣。問題是，多項式方程的階取決於我們取它的根。所以 i 的三、四、五次方根必須滿足：

所以對於方程中的每一個 x 和 y 都有 3 個，4 個，5 個不同的解。例如，i 的三次方根的三個解為：

(嘗試把它們立方，然後自己看吧！)這甚至還沒有涉及更複雜點的分數，請繼續往下看……

3. 分子或分母？

在虛數分數中，i 究竟是在分子中還是分母中是很重要的。如果你考慮(-1)這個數，在分數形式的情況下，不管你是用(-1)/1 還是 1/(-1) 來考慮它，其結果都是(-1)。但對 i 來說事實並非如此！我來問你們，你們認為這個分數是多少?


看著它，你可能認為它等於 i，但實際上它是 -i！

想要證明嗎？只要分數上下同時乘以一個 i，然後看吧。

所以當對複數分數進行合併或分解時要小心謹慎，必須遵循一些複雜的規則才能得到正確的結果。違反它們，你可以做各種瘋狂的事情，比如證明 +1 = -1，這樣數學上稱之為無效的證明。


4. e、π 和 i 都是彼此關聯的

在數學中，我們可以用極坐標來表示二維坐標空間，其中有一個距離原點的徑向坐標(r)和一個極角(θ)，就像這樣：

▲ 極坐標與直角坐標之間的關係，圖自維基


如果你不用 x 軸和 y 軸，而是用實軸和虛軸，你也可以做同樣的事情，只不過這次角度 θ 可以帶你在實平面與虛平面之間轉換。

▲ 歐拉公式，圖自維基


令人驚奇的是，如果我們在實軸上定位到 -1 的位置，我們會得到一個漂亮的恆等式：

就是這樣：e、i 和 π 之間有一種簡單而又出人意料的關係。證明如下：

這些關係在復變分析中經常出現。但是，如果你願意考慮指數，最後一個事實是非常了不起的。

5. i 的 i 次方

i 的 i 次方是 100% 的實數。考慮上圖中的方程（歐拉公式）——但我們不是在實軸上指向(-1)而是在虛軸上指向 i。在這種情況下，我們會得到一個等式：

如果我們想知道 i 的 i 次方是多少，我們需要做的就是對等式兩邊同時取 i 次方，


記得 i 的平方等於-1 嗎，然後我們可以發現：

大概就是實數 0.20787957635076……。

以上就是關於虛數的 5 個最有趣的數學事實！你有什麼想分享的，或者對這些問題發表評論？請在下面留下評論。

本文作者: [遇見數學翻譯小組] 核心成員 @方正Michael .

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