【虛數①】為什麼要研究-1的平方根?!

2021-02-20 文衛星數學生態課堂

虛數這個話題至今仍然帶有些許神秘色彩. 這完全要歸咎與它糟糕的命名，如果我們把i與正向單位+1和負向單位-1一起被稱作側向單位而非虛數單位的話，這種神秘就不存在了. 

—— Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

對 幾千年的時間裡，一直被迴避或者忽視，就因為它被認為毫無意義. 直到大約500年前，才發現再也無法迴避這個問題.

雖然關於卡丹諾方程的故事已經廣為流傳，但老君這裡為了能讓讀者能夠理解為什麼我們會無法迴避對 

主線劇情


義大利文藝復興時期百科全書式的學者Cardan(1501-1576)在1545年出版的Ars Magna (《大術》)給出了對一般三次方程 

即先通過換元得到 

 

【問題徵解】如何把任意三次方程，變形為 

在求解 

 

而另一方面，我可以得到 長除法可得二次方程 

雖然Cardan並沒有懼怕負數開根，並設 不可約". 並把 

【問題徵解】如何在複數域求任意複數的n次方根？

【問題徵解】如何證明出現「不可約」情形的三次方程，必有三個實根且兩正一負？

文藝復興時期歐洲著名的工程師Bombelli(1526-72)，於1572年的《代數學》一書討論了負數的平方根，並認為 

 

然後兩邊三次方，通過待定係數法，解(湊)出了 

[注]：因為在那個時代負數根依舊被數學家們所無視, Bombelli並沒有深入研究兩個負實根.

【問題徵解】如何證明不含平方項的三次方程，在複數域內所有根之和並為0？

之後的數學家們紛紛開始研究負數開根的問題，將其與三角、經典幾何、解析幾何、微積分等數學分支聯繫了起來，從而對複數有了更系統的研究.

支線劇情


一個叫Ferro(1465-1526)的義大利數學家，找到了求解以下形式三次方程的方法:

 

[注]： 注意與前者卡丹公式的區別，雖然在現代人看來只是  差了一個負號,但在那個時代一方面負數的運算規則尚未普及，另一方面兩者解的情況也有明顯不同.

他找到的求解公式是:

 

當然到此為止，這並沒有跟 

【問題徵解】如何證明 

在那個時代，數學家以相互挑戰以收穫名譽和獎金，所以他們往往對外宣稱自己解決某一問題但對解決問題的方法秘而不宣.  所以Ferro直到臨死前才把上述方法傳給了他的學生Fior. 


可惜Fior是個不自量力的學渣, 他其實只會套用老師傳給的公式. 當另一位著名數學家Tartaglia(1500-1557) 宣稱可以求解 

經此一役，Tartaglia隨三次方程求解問題一起聲名遠播，從而吸引了義大利學者Cardan的注意. 在Cardan的一番軟磨硬泡之下，Tartaglia最終還是把自己的解題方法傳給了Cardan，並要求其保密.

很多故事版本認為Carden背信棄義，將Tartaglia的三次方程解法剽竊到了自己的《大術》一書中. 但筆者認為Cardan應該是當得知Ferro早於Tartaglia也獨立解決了三次方程求解問題，所以才將之公之於眾，並且將其推廣給出了一般三次方程 


參考文獻

1. https://thatsmaths.com/2016/12/08/raphael-bombellis-psychedelic-leap/

2. An imaginary tale: the story of  

下期預告




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