偉大的數學家歐拉從最一般的三角函數sinx^2+cosx^2=1公式出發，得到著名的棣莫弗定理以及正弦和餘弦的無窮級數，方法簡單明了直觀，接著法國數學家拉格朗日運用三角學中的複數性質，又得到一些重要級數等式，優美的思路值得大家學習借鑑。
歐拉從最簡單的三角函數出發：
分解因式得到：這個因式中含有虛數，但它們卻非常有用
考慮乘積，我們展開得到
由於
從而所給乘積就可以表示成
類似的可得到：即著名的棣莫弗定理
進一步推導，我們又得到
利用上述結論我們可以得到：
從而得到一般的通用公式：
由於兩個正負符號，我們得到：
歐拉用二項式的冪展開上式得到
歐拉設z為無窮小，則sinz=z，cosz=1，又設n為無窮大，則nz為有限數，記nz=v，由sinz=z=v/n，有上述兩個無窮級數式子就得到正弦和餘弦的三角級數
以上就是歐拉推導正弦和餘弦級數的來源
接著拉格朗日運用三角學中的複數性質得到一些重要的三角級數等式
首先拉格朗提運用我們熟知的級數
將x換成z與三角函數複數的乘積，且x無窮小時得到：（x^n≈0）
經過簡單的變換得到
經過簡單分拆，得到
實部對應實部，虛部對應虛部，就得到兩個三角級數的重要等式
以上分別被記載在歐拉和拉格朗日的著作中，它們簡單明了。僅用初等的數學知識得到偉大的級數性質