級數的魅力:從對數函數的無窮級數到萊布尼茲級數,π的級數

2021-01-07 電子通信和數學

前一篇《歐拉選集》中三角函數與複數的關係中我們已經得到虛數的對數如何化為圓的弧

其中z為弧，Iog=In

我們已經得到In(1+x)/(1-x)的級數

其中sinz/cosz=tanz=tgz，令x=tanz(-1)^1/2，第一個式子就變成了

我們就得到了圓的弧可以用正切級數來表示的形式

令t=tanz，則arctant=z，上式就可以表示成

z等於45度時，正切值就是1，從而得到

這就是著名的萊布尼茲級數。

繼續運用上式，z=30度=π/6時，正切值就是1/3^1/2,我們又得到一個新的級數

我們就得到了π的級數

前面我們花費了勞動是巨大的，因為每一項都是無理數，且每一項都是前項的約1/3。我們會發現萊布尼茲級數收斂的很慢，如果用它來收斂到π是困難的

我們假設

運用常用的三角公式就會得到

令tana=1/2,則tanb=1/3,可見弧a和弧b的級數都是有理數，根據上述

代入其中，我們就會得到tana和tanb級數之和表示的π/4

用這樣的級數求圓周率π，比萊布尼茲級數速度要快很多。

相關焦點

  • 由牛頓二項式定理推導出任意對數函數的無窮級數
    前一篇文章我們討論了指數函數的來源，充分展現了牛頓二項式定理的無窮魅力，本篇我們繼續延伸二項式定理的用處，用它得到對數函數的無窮級數。但需參考前一篇來更好的理解本篇。所以得到這裡的i是無窮大，根據二項式定理展開得到因為i是無窮大，所以我們有從而得到進而得到其中log（1+x）的底是a，前一篇文章已經得到這樣我們就求出了等於1+x的對數的級數，利用這個級數我們可以求出對應於給定a的K值。
  • 無窮級數冪級數求和函數2.
    #無窮級數#冪級數求和函數sum(n,0,infinity)((-1)^n)(x^n)/(2n+1)分段函數分三段，arctan√x/sqrt(x)先導後積，ln((1+x)/(1-x))牛頓萊布尼茨公式。#數學分析#Σx^(2n)/(2n)!家鄉話搞出微分方程特解，哇噻我找到了chx的導數是shx...  http://t.cn/A6bW8LK5 ​​​。關注微博就屏蔽我吧@海離薇。。
  • 高等數學(二十六),無窮級數求和及傅立葉級數
    請分享公眾號到你的班級群，謝謝！部分同學可能搞不懂傅立葉級數，我在此把自己的理解寫出來。如果一個以 為周期的函數可以展開成傅立葉級數，那麼可以設: 但是此時我們不知道這些 的表達式，因此我們要做的就是把 確定下來。
  • 無窮級數,常微分方程,指數級數,冪級數求和.
    #無窮級數#冪級數求和函數，sum(n,0,inf)(x^(3n+1)/(3n+1)!)，常微分方程同理可得特徵方程，指數級數自造自解...  http://t.cn/A6bQ999K。。微博@海離薇。關注我就屏蔽我吧。。。。#數學分析#HLWRC高數不定積分求導驗證，鄉下話niaiwaha(你愛蛙哈)=聽來=梨比=隨便他。
  • 無窮級數:傅立葉級數原理概述
    數學中，無窮級數非常重要。它們廣泛用於計算器和計算機中。工程和科學中研究的許多現象本質上都是周期性的，例如。交流電路中的電流和電壓。可以通過傅立葉分析將這些周期函數分解為單個的組成成分（諧波）。這些特殊的三角函數的總和稱為傅立葉級數。傅立葉級數真的很有趣，因為它使用了您以前學過的許多數學技術，例如圖形，積分，微分，求和符號，三角學等。如果您遇到困難，希望這篇簡易的文章對你有所，首先了解下最基本的級數形式我們知道用泰勒級數如何將許多函數（如sin x，Inx，e^x等）重新表達為具有無限數量項的多項式。
  • 談談歐拉級數帶給我們的數學魅力
    首先在我們不知情的情況下探討這個無窮級數是否收斂呢？>熱身結束了，我們怎麼來證明歐拉級數準確數值呢首先sinX=0是個三角函數方程，那麼X解肯定有無窮多個，可以寫成：學過導數的話，對sinX求一次導數，二次導數：在X=0時得到b的值：
  • 數學的奧秘:萊布尼茲級數的連分式是什麼,你見過嗎?
    有關π的連分式我們根據一般方法很容易就可以寫出來，它像√2一樣的簡單這個式子我們可以聯想到萊布尼茲級數π/4，那麼π/4的連分式是什麼樣式的呢你會發現許多能寫出連分式的數必定大於1，也就是分子大於分母，這樣連分式的首位始終有一個整數，那麼對於萊布尼茲級數π/4的連分式明顯是
  • 無窮級數的故事
    關於2點鐘：無窮級數這貨跟幾何有什麼關係呢？幾何級數因為是無限相加，所以也叫無窮級數，如果「級數」這個詞看著彆扭，就理解為是無窮個數相加好了。既然是加法當然我們要求結果啦，求不出結果的式子其存在毫無意義，所以會有求不出結果的式子嗎？還真的有！
  • 奇妙的無窮級數
    無窮，但又很乖如上包含無窮項求和的式子稱為無窮級數，它們給我們對一些非常基本的數學概念（比如加和減）的理解帶來了衝擊。我們下一步要考察的無窮級數稱為幾何級數：以此類推。我們可以證明它收斂於ln2≈0.7（這裡ln2表示2的自然對數）。你可以用計算器加加看，如果學過微積分，可以將ln(x+1)展開為泰勒級數，然後取x=1處的值。所以我們就以這個事實起頭，記
  • 無窮級數之級數的性質
    重積分和曲線積分、曲面積分相親相愛，過著「楊過和小龍女」一樣的神仙般的時光歲月，挺好的，但突然來了個級數，非和他們在一起，級數真綠茶。級數「給爺爪巴」，口區！上篇文章寫到，直接利用級數收斂的定義去求級數的和。但這麼做，一般來說是比較困難的，而級數的主要問題是判別收斂性.
  • 數學家是如何研究分數函數的無窮級數的
    萊昂哈德.歐拉，雅各布.伯努利 棣莫弗對無窮級數問題做了深入研究，他們都是處理無窮級數的高手。我們來看看數學家是如何處理無窮級數和函數之間的關係的。我們來看一個簡單的分數函數用一般的方法：連續進行除法運算可以把分數化解為關於Z的無窮級數，明顯是一個幾何級數我們也可以用比較係數法，令兩邊乘以分母得到展開得到比較0次冪的係數得到a=ɑA，那麼Z的其餘各次冪的係數都是0得到可以看出我們知道了任何一個係數都可以求出它後面的一個，例如求出了A，從它我們依次求出了
  • 無窮級數的概念和性質
    無窮級數是高等數學的一個重要組成部分，它是表示函數研究函數的性質以及進行數值計算的一種工具。本章先討論常數項級數,介紹無窮級數的一些基本內容，然後討論函數項級數，著重討論如何將函數展開成冪級數和三角級數的問題。
  • 由牛頓二項式定理得到指數函數的無窮級數 - 電子通信和數學
    用現代的眼光看牛頓二項式定理簡單而美妙，但最初的數學家用它卻得到許多函數的無窮級數，這不但需要高超的數學技巧，更需要靈活的數學思維。本篇將要闡述的指數函數的無窮級數就是其中一例。當a大於1時，a的冪隨a的增加而增加，當數ω是一個無窮小時，a^ω=1,所以我們可以將a的冪寫成如下的等式關係當ψ不是無窮小時，ω就也不是無窮小，所以ψ和ω關係有三種：ψ=ω，ψ>ω，ψ<ω,所以我們可以假設ψ=Kω我們繼續得到根據二項式展開得到令i=z/ω,其中z為有限數，ω是無窮小，則i就是無窮大，ω=z/i就是一個分母為無窮大的分數
  • 泰勒級數經典之作:有關泰勒級數前幾項的幾何原理
    泰勒級數大家應該都很熟悉了，如下所示，它可以計算任意函數f(x)所有階導數在a處的值如下就是e^x在0附近時的無窮級數形式，它是最簡單的也是最有用的級數之一，它的導數就是其本身我們現在用幾何原理來解釋泰勒級數的前幾項，這是非常有趣的，可以很好地拓展我們的數學視野
  • 持續學習:數學分析子冪級數與傅立葉級數2
    三角級數的概念：周期現象的數學描述就是周期函數簡諧振動：y=Asin(ωt+φ)複雜周期函數：n個簡諧振動的疊加三角函數項級數：A0+ΣAnsin(nωt+φn) n：1->∞若 A0+ΣAnsin(nωt+φn) n：1->∞ 收斂，則它描述的是更為一般的周期運動現象三角級數
  • 2020山東專升本考試:無窮級數
    2020山東專升本考試：無窮級數 有很大一批人因為數學差而對專升本望而卻步，其實數學沒有那麼可怕。而高數又是重中之重，下面帶大家一起梳理一下高數重要考點知識點。今天山東中公教育小編就整理分享：2020山東專升本考試：無窮級數的相關內容，希望對大家有所幫助。
  • 常數項無窮級數的性質
    所謂的常數項無窮級數，簡而言之，就是數列各項之和。可用下式表示常數項無窮級數：從常數項無窮級數表達式很自然就能延伸出這樣個問題：常數項無窮級數是否收斂？下方的極限將這個問題與數列極限聯繫起來：如果極限S存在，則數列收斂，否則數列發散。其中Sn為部分和數列，即數列的前n項之和。常數項無窮級數收斂的定義就是：如果極限S存在，則數列收斂。
  • 持續學習:數學分析之冪級數於傅立葉級數
    上一篇講到一般的無窮級數理論。就具體運用到的表達函數而言，由兩類特殊的函數項級數是十分重要的：冪級數與三角函數。冪級數是多項式的推廣，是無窮次的多項式，它的收斂域很特別，是以某點為中心的區間，而且在收斂區間內，和函數是無窮次可微的。
  • 如何學好無窮級數
    相信不少人在學無窮級數時，頭都比較大，僅僅被斂散性判斷定理都折磨得痛不欲生。那麼無窮級數難嗎？從考研的角度看，無窮級數不難，但如果不僅僅為了考試，而想更深入地研究，那麼無窮級數就很難了。既然從考研角度看，無窮級數不難，為什麼又有很多人在複習無窮級數時頭會暈乎乎的呢？
  • 趣談無窮級數的終結者:泰勒級數
    我們學習泰勒級數目的，就是為了在某個點附近用多項式近似其他函數，這樣逼近函數的多項式要比函數本身更加有意義，既可以積分 又可以求導，還可以觀察它的的特性。這樣我們就得到了cosx函數的泰勒多項式。同理最終得到任意函數在x=0時的泰勒多項式。我們來分析他們的幾何意義首先假設多項式f（x）代表面積f（x）的在a處一階導數就是曲線上在a點的縱坐標，f（x）的在a處二階導數就是曲線在a點的斜率，所以得到圖中的等式。