我們學習泰勒級數目的，就是為了在某個點附近用多項式近似其他函數，這樣逼近函數的多項式要比函數本身更加有意義，既可以積分 又可以求導，還可以觀察它的的特性。
我們以cosx為例，用三項式來逼近它
首先很容易得到：x=0時，C0=1
多項式曲線在x=0處，還是可以來回搖擺，所以繼續定義在x=0處的斜率得到C1=0
雖然定義了x=0處的斜率，但是多項式曲線還可以上來活動，所以繼續定義x=0處的二階導數：
這樣在二階導數斜率為負，曲線開口朝下，這樣曲線在x=0點和cosx更加吻合
最終得到僅有三項的逼近COSx的多項式
我們可以用x=0附件的數值 例如0.1,0.2來驗證，與實際的COSX非常接近，所以是成功的
c0負責多項式在x=0時與cos0的值一致。
c1負責多項式x=0時與cos0處的導數一致（不可左右搖擺）（斜率一致）
c2負責多項式x=0時與cos0處的二階導數一致（不可上下搖擺）
這樣使得曲線在cosx附近變化時，儘可能的逼近cosx。
為了使得曲線在x更遠的地方也能逼近cosx,需要不斷增加項數，這樣就要不斷的對cosx求導。
你會發現，隨著項數的增加，增加的高次項並不會影響低次項。這點很重要，這是因為在求高次項係數的時候，前面的x都等於0
多項式任意階導數在x=0的值，都是唯一的一個係數來控制。這樣我們就得到了cosx函數的泰勒多項式。
同理最終得到任意函數在x=0時的泰勒多項式。
我們來分析他們的幾何意義
首先假設多項式f（x）代表面積
f（x）的在a處一階導數就是曲線上在a點的縱坐標，f（x）的在a處二階導數就是曲線在a點的斜率，所以得到圖中的等式。這就是他的幾何意義
注意：
泰勒級數不是對所有的函數都能很好的逼近，如下Inx函數的泰勒級數，在x取值超出一定範圍後就上下亂跳，所以x的取值不能延伸更廣的範圍，必須定義它的收斂半徑。
但對e^x的泰勒級數就不存在這個問題，能很好的和e^x吻合。