數學之美——偉大的數學家歐拉及他對巴塞爾問題的精妙解法

2020-08-28 遇見數學


德國數學家、天文學家和物理學家卡爾·弗裡德裡希·高斯，被許多人認為是&34;，但他卻給出了如此讚譽獻給歐拉本人。

本文將介紹瑞士數學家萊昂哈德·歐拉是如何解決著名的巴塞爾問題的。歐拉是歷史上最偉大的數學家之一。他的多產被譽為傳奇，且他的數學成果足以匯聚成 92 卷文集。

「讀讀歐拉吧， 他是我們所有人的老師。」——皮埃爾-西蒙·拉普拉斯

巴塞爾問題(Basel Problem)

巴塞爾問題於 1650 年由義大利數學家彼得羅·門戈利首次提出，1734 年由歐拉解決，這使他立即得到認可。這個問題是求自然數的平方的倒數之和：

等式 1：巴塞爾問題

許多有影響力的數學家試圖找到一個公式，以求自然數平方的倒數之和。如微積分的兩位共同發明者約翰·沃利斯和偉大的戈特弗裡德·萊布尼茲就是嘗試了這個問題但以失敗告終的眾多人中的兩位。但年僅 28 歲歐拉在就解決了這個難題，並且他給出的答案的數學性質令數學界感到驚訝。儘管他給出第一個證明(他後來又提供了其他幾個證明)並不是嚴謹的，但它的美、簡單和原創性是都是令人難以置信的。

圖 3: 巴塞爾是瑞士的第三大城市, 也是歐拉的故鄉(圖自維基)

歐拉的獨到見解是將 sinc(πx)函數寫成了根式解的形式。

等式 2：sinc(πx)函數的定義

圖 4: 在 x = −6π 到 6π 區間顯示在同樣尺度上的歸一化 sinc(x)(藍色)與非歸一化 sinc 函數(紅色)

為便於理解，來看個例子，下面的四次多項式寫為根式解的形式：

將表達式相乘後展開，我們能夠得到下面結果：

等式 4：乘開各因子之後的表達式

歐拉的策略是將同樣的展開式應用到超越函數上。

超越函數(Transcendental Functions)

超越函數就是「超出」代數函數範圍的函數，是指那些不滿足任何以多項式方程的函數，也就是不能寫成與「等式 4」類似的多項式相乘的形式。指數函數、三角函數和對數函數是三個眾所周知的超越函數例子。

圖 5：指數函數、對數函數和三角函數的圖象(圖自維基)

sinc(πx)函數具有以下根：

等式 5：sinc(πx)函數的根

歐拉利用下面最基本的數學恆等式，將 sinc(x)函數寫成了與等式 3 中 f(x)相同的格式

由於對於等式 5 中的每個根都有相應的負根，因此等式可以寫成下列形式：

等式 6：sinc(πx)函數的零點式

下一步是將等式 6 中的因子相乘展開，但讓我們只關注其二次項就可以了：

等式 7：等式 6 展開後其二次項係數

泰勒級數

泰勒級數是將函數表示為無限項連加式，這些相加的項由函數在某一點的導數求得。通過函數在自變量零點的導數求得的泰勒級數又叫做麥克勞林級數，以蘇格蘭數學家科林·麥克勞林的名字命名。

圖 6：隨著增加泰勒級數的項，它就越接近到準確的函數。黑色細線表示函數 sin(x)，藍色粗線是泰勒多項式

圖 6 所示的七個泰勒級數代數形式如下：

等式 8：相應的次數的泰勒多項式。這些函數圖象如圖 6 所示

sinc(x) 函數的泰勒展開式是：

等式 9：sinc(πx)的泰勒展開式

人們可以認為 「等式 8」 是具有無限項的&34;，就像「等式 5」中所示它有無窮個根。

比較兩個結果

對比「等式 7」 和「等式 9」，我們得了目標結論：

等式 10:歐拉給出的巴塞爾問題的答案

作為額外收穫，歐拉的推導過程為我們提供了著名的沃利斯公式。只需在 x = 1/2 代入「等式 6」中即可得到。

作者：[遇見數學核心成員] 李星, 石婧儀, 點點

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