【數學之美】散度定理和旋度定理、廣義旋度定理(廣義斯託克斯公式)

我們知道矢量場的散度（divergence）和旋度（rotation、curl ）的定義如下：

由上我們可以得到散度定理(Divergence Theorem)和旋度定理(Curl Theorem)。散度定理通常也被稱為高斯散度定理，旋度定理也通常被稱為斯託克斯旋度定理。

散度定理可以簡單描述為：矢量場的通量等於該矢量場散度的體積分，體現的是面積分與體積分的關係。更加精確地說，散度定理說明矢量場穿過某一封閉曲面的通量（第二類曲面積分），等於矢量場的散度在該封閉曲面圍起來的體積上的積分（體積分）。

旋度定理可以簡單描述為：矢量場的環量等於該矢量場旋度的通量，體現的是線積分與面積分的關係。更加精確地說，旋度定理說明矢量場在某一曲面的邊界線上環量（第二類曲線積分），等於矢量場的旋度穿過該封閉曲面的通量（第二類曲面積分）。

我們知道微積分學基本定理中描述的牛頓-萊布尼茨公式如下

上式可以看做是一維形式的斯託克斯公式（旋度定理），如下面公式描述所示

因此，在一維，旋度定理等價於微積分基本定理；在二維，它等價於格林公式。旋度定理通常運用在三維空間中，然而，它可以推廣到任意維數，這些都是旋度定理的特殊情況。

旋度定理有更一般的形式（被稱為廣義旋度定理，或稱為廣義斯託克斯公式），如下所述。

令 M 為一個可定向分段光滑 n 維流形，令 ω 為 M 上的 n−1 階 C1 類緊支撐微分形式。如果 ∂M 表示 M 的邊界，並以 M 的方向誘導的方向為邊界的方向，則

這裡 dω 是 ω 的外微分, 只用流形的結構定義。這個公式被稱為廣義斯託克斯公式（generalized Stokes' formula），它被認為是微積分基本定理、格林公式、高－奧公式、ℝ³ 上的斯託克斯公式的推廣。

該定理經常用於 M 是嵌入到某個定義了 ω 的更大的流形中的子流形的情形。

該定理還可以簡單的推廣到分段光滑的子流形的線性組合上。斯託克斯定理表明相差一個恰當形式的閉形式在相差一個邊界的鏈上的積分相同。這就是同調群和德拉姆上同調可以配對的基礎。

高斯散度定理也是廣義斯託克斯定理的一個特例，我們可以把高斯散度定理公式中的通量 f · dS 部分看成是等價的(n-1)-形式。 

綜上所述，牛頓萊布尼茲公式（微積分基本定理）為對應到廣義斯託克斯公式中的n=1的特例；平面上的Green公式（曲面為平面）和曲面上的Stokes公式為對應到廣義斯託克斯公式中的n=2的特例；高斯散度定理為對應到廣義斯託克斯公式中的n=3的特例。

小編：王楓

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