昨天由哈密頓算子引出了梯度的概念，並簡單介紹了其在優化分析中的應用。今天介紹的散度以及旋度也跟哈密頓算子有關，簡單來說，散度就是與哈密頓算子的點乘，旋度就是與哈密頓算子的叉乘。既然這裡說到了點乘與叉乘的概念，那麼顯而易見，這裡與算子相乘的函數不再是昨天說的數值函數，而是向量函數，例如：
那麼我們就可以得到散度的公式：
通過上式可以看出，散度是一個標量，那麼它有什麼意義呢？如下：
直觀來看，如下圖所示（from Wikipedia）：
下面再說說旋度：首先，旋度相比散度在直觀上我們更容易理解，比如現實中的旋渦，磁場，都有一定的強度和方向，因此對應著一個向量來表徵，這個向量就是旋度。明確了這一點，就可以用哈密頓算子來定義旋度了：
摘自 Wikipedia
因此，旋度的大小代表了旋渦的旋轉強度，方向，其實是指向旋渦的法向，其方向通常可使用右手定則來判定。當旋度為零時，這個向量場就是無旋的，此時若向量場為流場，則流體的流動為勢流，旋度通常也可以和環量聯繫起來，用到的關係式就是斯託克斯定理，這裡就不詳細展開了。
至此就介紹完了梯度、散度、旋度三個容易混淆的概念，需要說明的是以上定義均是基於三維歐氏空間。