【散度定理】圖解高等數學-下 28

2021-02-13 遇見數學
散度定理

二維平面 Green 定理 - 散度法向形式說的是, 在向量場中穿過簡單閉曲線的向外流量可以通過下式做積分求得散度:

類似在三維空間中的散度定理就是指, 在三維向量場中穿過一閉曲面的向外淨流量由曲面區域做散度積分.

三維空間中的散度

向量場 F = (M,N,P) = M(x,y,z) i+N(x,y,z) j+P(x,y,z) k 的散度是數量函數

觀察下面動畫顯示向量場 F 中一些點處的散度值:div F > 0, 顯示紅色數值或紅色球體, 表示流體從源處流出;div F < 0, 顯示綠色數值或綠色球體; 表示流體的流入匯聚;

散度定理

散度(高斯)定理把一個向量場通過曲面的通量(向量場垂直穿過)與曲面內部的向量用下面等式聯繫起來.

就是說向量 F 通過閉曲面 S 沿其外法線方向的流量等於 ∇⋅F 在由曲面所圍成區域 D 上的三重積分, 觀察下面閉曲面 S 沿其外法線方向的流量展示:

統一化的積分定理

我想暫時圖解高數系列到這裡做一個完結, 餘下就是對這兩個系列《圖解普林斯頓微積分讀本》和《圖解高等數學 - 下》做進一步修改和補充的工作.  本人水平精力都有限, 還請各位老師朋友多指正幫助! 

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