多變量微積分-二十五講-散度定理

散度定理，又稱為高斯散度定理、高斯公式、高斯－奧斯特羅格拉德斯基公式或高－奧公式，是指在向量分析中，一個把向量場通過曲面的流動（即通量）與曲面內部的向量場的表現聯繫起來的定理。它經常應用於矢量分析中。矢量場的散度在體積D上的體積分等於矢量場在限定該體積的閉合曲面s上的面積分。

1. 散度定理

散度定理就是三維空間的格林公式：

 

舉例1：

前面計算空間向量場時一個例子拿過來用散度定理重新計算：

以半徑為a的球面內，求向量場F=(x,y,z)的通量：

 

 

2. 擴散方程

當在液體中加入某物質，描述某種物質在液體（氣體）中的擴散運動情況，液體（氣體）是靜止的。

位置函數u=u(x,y,z,t)描述在時間t，某一點物質的溶度，

 

熱方程具有與擴散方程同樣的形式，此時u描述溫度在靜止流體或固體中每一個點隨著時間的變化情況。假設你有一個金屬盒子，從一側加熱，要知道另一側變熱有多快呢？此時可以用到這個熱方程。

如果煙霧在氣體中擴散，則向量場F表示煙霧的流動，煙霧如何從濃度高的地方擴散到溶度低的地方，即總是流向溶度下降最快的方向，這個就是負梯度方向；那麼F的大小呢，濃度變化的越劇烈，F應該越大，這裡用一個比例常數k表示，用數學公式表達，

 

結論;

1． 散度定理就是三維空間的格林公式，很好理解和記憶。

2． 利用散度定理，推導了物理上的擴散公式。

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