微積分教學的幾點淺見

編者按：本文原載《中國數學會通訊》（1997 年 9 月第 3 期），後又刊登在《高等數學研究》1997年第4期，感謝《高等數學研究》授權本公眾號轉載。

導讀：本文系中國科技大學數學系龔昇教授1996 年 11 月 2 日在國家教委數學教學與課程體系改革座談會上的發言。龔昇教授（1930-2011）是數學大師華羅庚的「六大弟子」之一，除了科研能力突出之外，教學方面也出類拔萃。這個發言可謂他在多年微積分教學實踐中總結下來的心得。他對微積分的見解，得到了已故數學大師陳省身與吳文俊的高度讚賞（我們稍後會推出吳文俊對龔昇教授《簡明微積分》的書評）。除了微積分，龔昇教授對複分析與線性代數的教學也深有心得，他與張德健教授合作，寫了微積分五講、複分析五講、線性代數五講的系列講義，刊載於《數學傳播》，有興趣的讀者可以瀏覽網頁：https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/author18.jsp?query_filter=%E9%BE%94%E6%98%87

以下是正文。——林開亮

龔昇教授
1958 年我調到中國科技大學教書，大多時間是教微積分，教了八年之後，於 1966 年對微積分教學產生了一些想法，於是寫了一篇關於微積分教改想法的文章，刊登在《自然辯證法通訊》1966 年第 1 期上，並且按照這個想法寫了一本微積分教材《簡明微積分》（第一版 1978，人民教育出版社；第二版 1993、第三版 1997，中國科技大學出版社），這本教材中國科大一直用到現在，已近 20 年了。微積分的教材不知被寫了多少本，我為何還要再寫一本？這是有感而發。1995 年我對科大數學系的老師講了為何三十年前要寫這本微積分，大多數人都說從未聽過。由於我對微積分教學的想法與三十年前無大變化，今天我只好老調重彈，講講三十年前的認識，請大家指正。

（一）三個組成部分

首先要弄清楚微積分包括哪些內容，「對於某一現象的領域所特有的某一種矛盾的研究，就構成某一門科學的對象」（矛盾論，毛選一卷 284 頁）。對微積分這門學科來講，就是以微分與積分這對矛盾作為研究對象的。這點在恩格斯、列寧等一些經典著作中都早已指出。也就是說：微積分就是研究微分與積分這對矛盾的學問。這就決定了微積分的內容是由三個部分組成，即：微分、積分與指出微分與積分是一對矛盾的微積分基本定理這三部分。對於微分的部分與積分的部分都易於理解。對於第三部分，指出微分與積分是一對矛盾的微積分基本定理，也許得多說幾句。

微分與積分的概念古已有之。如阿基米得就知道求 

這裡的 

由於微積分的內容是這三部分組成，所以微積分的任務也就是講清楚這三個部分，講清楚微分與積分這對矛盾，而其它的概念都是為之服務的。

順便提一下，大學一年級課程中，物理、化學等都稱為普通物理、普通化學，十分謙虛，只有數學稱之為高等數學，但何高之有？這個名稱也許是源於這種說法：是否引入變量是作為區分初等數學與高等數學的標準，但是我想更科學的名稱應該是「微積分」。

（二）三個發展階段

從歷史上看，微積分的發展經歷了三個階段。

第一階段是Newton-Leibniz 建立起微積分的階段，這大約在十七世紀六、七十年代，他們指出了微分與積分是一對矛盾，使微積分成為一門獨立的學科。當時他們得到了大量正確的結果，並十分成功地應用到天文、力學、物理等學科，使得這些學科也得到了很大的發展。但是對於微積分的基礎卻並未牢固地建立起來，尤其是 第二階段。這個階段的代表人物是：Cauchy，Wieerstrass 與 Riemann 等，他們建立了微積分的基礎，即通常所說的 第三階段，這往往不被人們所注意，這就是外微分形式的建立。如前所述，有了外微分形式，而且只有用了外微分式形，才能真正說清楚在高維空間中微分與積分是一對矛盾。這就是前面提到的 Stokes 公式 

對於由 Cauchy，Wieerstrass，Riemann 等人為代表建立起來的 

另一個問題是：在大學微積分課程中，用外微分形式來講行不行？當然如果講一大套流形、拓樸、映射、Grassmann 代數等來講外微分形式，這樣學生的確可能不易接受。這種辦法是不可行的。但是如果不興師動眾，緊緊抓住面積與體積有方向這個十分易於接受的概念，則向學生們介紹三維空間的外微分形式不僅可能而且極易為他們所接受。我寫的《簡明微積分》就是這樣處理的。20 年的教學實踐證明學生是歡迎的，是能接受的。

數學教育本身的發展過程就是從低級到高級，由高級替代低級的過程。記得我在小學學算術感到很難。例如雞兔同籠問題，已知有多少個頭多少只腳，問有多少只雞多少只兔。當時我實在感到很難，一是為何雞兔要關在一個籠子裡，二是既能數得清有多少個頭多少只腳，為何數不清有多少只雞多少只兔？老師教我解雞兔同籠的方法更是使我感到很難。但等到學了初中代數，才明白這不過是二元一次聯立方程組，解此方程組十分容易。不論雞兔同籠還是鴨狗同室都可用此法來解。初中代數比小學算術高級，但高級的卻比低級的容易，而且高級的替代了低級的。因此作為教師，不僅要教學生以新的知識，還要教學生忘掉一些已被替代掉的舊知識。人們從小學到大學讀過的數學書疊在一起不知有多高，如果不是逐步忘掉一些被替代掉的舊知識，人們怎能記得住這麼多！人們從上小學以來，年年學數學，實際上就是一個以高級替代低級的過程。除了上述例子外還可以舉出很多例子來，這裡所說的外微分形式，就是一個用高級（實際上容易接受的）替代低級（相對來講是較難的）的例子。當人們有了 Stokes 公式 

（三）微積分定理的對應

在微分與積分是微積分這門課程的主要矛盾的觀點下，原則上講，在微分中的一條定理，在積分中也應有相應的定理，反之亦然。即他們之間應是相互對應的，且從某種意義上講，是同一事物的兩種不同的表達形式。用這種觀點來撰寫教材，可以將眾多的定理梳理清楚，易於為學生所理解與接受，而且學生可以知一而知二，需要記住的內容大大減少。這也是使教材簡明的一種方法。例如 

（四）三個初等函數

在微積分課程中的定義與定理，往往說的是一般的函數，但是具體的例題與習題大部分卻是以下三個大家十分熟悉的初等函數以及它們的複合函數。這三個初等函數為 1）冪函數以及它的反函數；2）三角函數以及它的反函數；3）指數函數以及它的反函數，即對數函數。我們知道，在複變函數的觀點，這三個函數實際上是一個函數，可以相互表達的。在微積分教學中如果對這三個初等函數掌握好了，一般的函數也就易於理解了。不但如此，在微積分中，還有一部分是講級數的，這可以這樣來理解之，由於一般地討論函數往往不好處理，於是有了用初等函數來表示或逼近的想法，用冪級數來表示一般函數，這就是 Taylor 級數；用三角函數來表示一般函數，這就是 Foiuer 級數。至於為何沒有用指數函數來表示一般函數的級數，一方面當然可以用函數系的正交性、完備性等解釋（這就得說來話長），但這也可以用 Euler 公式 

（五）其它一些矛盾

在微積分中，微分與積分是一對主要矛盾，除此之外，還有一些其它次要的矛盾也在起著重要的作用。例如：離散與連續；局部與整體；有限與無限；必然與偶然等等。以離散與連續為例，無窮級數與無窮積分就是離散與連續的關係；Fourier 級數與 Fourier 積分也是連續與離散的關係等等。把這些內容放在離散與連續的關係下一起講，就會顯得十分簡單明了。實際上有一條離散的定理就有一條相應的連續的定理，反之亦然，是同一件事在離散與連續的兩種不同表現形式。至於其它一些矛盾也可以舉出很多例子來，不在此一一列舉了。

想法是三十年前的想法，書是三十年前寫的，念過《簡明微積分》這本書的學生數以千計。在國內外我遇到過這些學生，普遍反映還是好的。但這終究是三十年前的想法與書了，現在看看，缺點與毛病甚多，尤其是這三十年來計算機的大量發展及普及，為微積分的教學提出了新的挑戰。這些年來，我也曾有機會在美國一些大學教過微積分，但大部教材我感到乏善足陳。但是在美國如何改革微積分教學已引起了眾多數學家的關注，不少著名數學家投身於此，例如 Fields 獎獲得者、IMU 主席 D.Mumford 教授就是一位。也出現了一些值得注意的教材，如由哈佛大學教授領導的小組編寫的一些教材，的確有其鮮明的特色與長處，值得我們參考與借鑑。