從AP微積分考核的四大內容講解極限

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從AP微積分考核的四大內容講解極限

2013-11-27 15:30

來源：新東方網

作者：祁恩雲

　　《莊子》中有一句名言：「一尺之錘，日取其半，萬世不竭。」這是最早的極限思維，截取量無限接近0，但又永遠不會等於零。所以極限不是一個確定的數，是無限趨近這個確定的數。微積分以函數為研究對象，以極限思維為基本研究方法，極限的思想貫穿整個微積分學始終。以極限方法研究變化率(如：速度、加速度)問題而建立了微分學;以極限方法研究微小量的累積求和問題(如：面積、體積)建立了積分學;微積分的基本原理揭示了導數和積分的內在聯繫;無窮級數的收斂或發散要由極限來判斷。極限無處不在，引領著微積分在我們的生活和科學等各領域發揮著重要作用。

　　下面我們從AP微積分考核的四個方面內容來看極限在其中的表現。

　　1. 極限和函數的連續：

　　函數在某一點存在極限的充要條件是左極限與右極限均存在且相等。

　　

　　∙可用極限判斷函數是否存在漸近線(豎直漸近線、水平漸近線)：由此分析函數的基本特徵。∙用極限來定義函數在某點的連續性：

　　

　　∙夾擠定理、中間值定理、極值定理都是極限概念的延展。

　　2. 導數、微分及應用

　　對瞬時變化率問題如速度、加速度等的研究產生了導數。

　　

　　-其幾何意義是函數f(x)在a點的斜率。

　　

　　∙由此可討論連續函數的增減性、彎凸性、確定函數極值、相關變化率。

　　∙並可由導數定義式給出所有函數的求導公式。

　　3、定積分、不定積分及應用

　　對非常規圖形面積的計算的要求產生了定積分。

　　「分割、近似求和(黎曼和)、取極限(定積分)」是定積分的核心思想。

　　

　　

　　

　　∙由此可計算面積、旋轉體體積、弧長、平均值，

　　

　　4、多項式近似和無窮級數

　　無窮級數是微積分學的重要組成部分，涉及極限、微分和積分的內容。級數收斂、發散的定義：

　　

　　上述內容，尤其是微積分的運算和應用，所有微積分公式都來自極限。但當我們掌握並能熟練應用這些公式後，由於極限的身影很少出現，故往往會忽視這些公式的起源。從上面微積分內容介紹，我們可看到極限無處不在，極限的概念就是微積分的核心思想。

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　　新東方祁恩云：從事多年大學物理教學工作，加拿大阿爾伯塔大學訪問學者，合作研究雷射光譜用於物質識別項目。2006年後專注於北美數理課程教學，受邀於溫哥華著名教育中心--溫哥華功力數理學院(Vancouver Power Math and Science Academy，Canada)任數學、物理教師。目前已有多年加拿大「數學、物理、微積分」等中學、大學課程、美國大學理事會標準化考試SAT2和AP課程的豐富教學經驗，熟悉北美數理教育。2011年回國後，將國外的教學經驗融入中國教育，發揮中國學生的優勢，彌補中美兩國教育差距，能使中國學生用最短的時間備考美國標準化考試SAT2和AP。祁老師也可為準備考試的學生提供申請大學諮詢及擬定學習計劃的教育諮詢。

(責任編輯：許爽)

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