----關於博文《也談微分的本質--兼評丁小平〈微分之講授〉》談幾點看法微積分
摘要
微積分自牛頓、萊布尼茨建立以來，經幾代數學家的不斷完善形成了今天的微積分體系。由於微積分方法的實用性和正確性，學界普遍認為微積分體系已經無懈可擊，人們能做的只能是繼續完善和發展。我國數學家丁小平以大無畏的批判精神和驚人的毅力致力於微積分原理的研究，指出了現行微積分原理存在的邏輯錯誤並構建了新的數—形模型，為數學的發展做出了貢獻。本文簡要梳理了微積分發展史以從歷史的角度認識微積分並不是完美的，接著對於博文《也談微分的本質--兼評丁小平〈微分之講授〉》的觀點談幾點看法；最後簡介丁小平先生的工作。
1.微積分發展史
17世紀初期，牛頓（Isaac Newton，1643-1727）和萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）分別從不同角度獨立地發明了微積分，並提出各自的微積分原理。隨後雅各布伯努利（Jocob Bernoulli，1654-1705）和約翰伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748）兄弟極大地推廣了微積分，歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）將微積分發展為處理數學與實際問題的強有力的工具，微積分方法得到極大的豐富。
1734年，貝克萊（George Berkeley，1685-1753）在《分析學家——致一個不信教的數學家》中提出牛頓微積分原理的悖論，批判牛頓的無窮小量o的邏輯錯誤。1821年至1823年，為解決貝克萊悖論，法國數學家柯西（Augustin Louis Cauchy，1789-1857）提出極限理論。隨後，維爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815-1897）給出極限論的嚴格的形式化描述，即現行的 語言。同時，黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）、維爾斯特拉斯和達布（Jean Gaston Darboux，1842-1917）等數學家對定積分進行了嚴格定義。
隨著函數概念的拓寬，各種病態函數被構造出來，例如託梅函數。原有的定積分定義無法處理此類病態函數，微積分原理再次陷入危機。隨著在1902年法國數學家勒貝格（Henri Léon Lebesgue，1875-1941）提出勒貝格測度和勒貝格積分，聲稱這一危機得到解決。
但關於微積分原理的討論至今從未停歇。早在上世紀六十年代，美國數理邏輯學家羅賓遜就用《非標準分析》表明「萊布尼茨的思想能夠全面維護。」二十世紀最偉大的邏輯學家之一哥德爾也同樣支持羅賓遜的結論，他說：「以這種貨那種形式表示的非標準分析，將成為未來的分析學」。近年來，關於非標準分析的研究熱度明顯下降，但國內外仍有很多非標準分析的支持者，也有很多人從微分的概念著手指出微積分原理體系的問題，如國內南京大學數學家莫紹揆在1994年就深刻批判了現代微積分體系中強行引入微分的概念。
2.對博文《也談微分的本質--兼評丁小平〈微分之講授〉》的幾點看法
先摘錄《也談微分本質》的一段文字：
「數學概念必須保證在確定的條件下才有意義，既然是給函數y=f(x)作微分定義，那麼函數關係必須是明確的，也就是x，y分別是自變量與因變量，這種關係不能隨便亂改，否則永遠是『變動』『無始無終』，討論確定概念有意義嗎？複合函數確實存在，但連簡單函數尚未搞定，你還想研究複雜函數？況且在簡單函數的微分概念明確後，複合函數，包括反函數，隱函數的微分計算都是水到渠成的事。無論是理論的構建，還是教學實踐，都必須採取循序漸進的方式，逐步加深理解，逐步拓展概念以及形式的廣延性；這為我們不必拘泥於原始定義運用微分計算創造了條件（如用有時可能由於△x不能預知x是自變量還是中間函數而陷入混亂）；更重要的意義在於使得算子d成為微分幾何等領域的有力工具。而且這種不變性恰好是上述微分概念正確合理的有力證明。試問，假如dx=△x不成立，如何導出微商f'(x)=dy/dx ？dx意義不明確，或者摒棄dx，微積分學恐怕真的扭曲不堪了。」
由上文可見爭論的關鍵在於dx=△x是否成立。總結上文觀點，作者談dx=△x沒有任何問題的原因在於：
1、區分自變量和因變量，對確定的函數關係y=f(x)可分別定義dy和dx。在這裡，dy和dx都是線性主部，只不過dy是針對y=f(x)而言的，x是針對x=x而言的。
2、利用鏈式求導法則導出一階微分形式不變性，找到微分在無法明確x是自變量抑或中間函數的函數。用作者自己的話說就是「在簡單函數的微分概念明確後，複合函數，包括反函數，隱函數的微分計算都是水到渠成的事。無論是理論的構建，還是教學實踐，都必須採取循序漸進的方式，逐步加深理解，逐步拓展概念以及形式的廣延性。」可是不要忘了，再怎麼拓展概念和形式的廣延性，都不能使概念變得不確定，都不能與原先定義的概念相矛盾。
下面就上文觀點不恰當以及不正確的地方提出筆者的一些看法：
1.在初始的定義中，微分是針對確定的函數定義的，沒有函數關係，就沒有微分的定義，這就導致了微分符號含義的混亂性。下面以複合函數為例具體說明。y=f(x)，x=h(t)則y=f(h(t))=u(t)。針對函數關係y=u(t)，有dy=u'(t)△t（其實dy記做du更符合定義的含義）；針對函數關係x=h(t)，有dx=h'(t)△t；針對函數關係x=x，有dx=△x。於是就得到了dy=u'(t)dt和dx=h'(t)dt。利用鏈式求導法則有u'(t)=f'(x)h'(t)，所以 dy=u'(t)dt=f'(x)h'(t)dt即dy=f'(x)dx。這樣，貌似得到了作者想要的結果，然而，這是思維極不嚴密的結果，這裡dy=f'(x)dx中的是dx針對函數關係x=h(t)而言的，記做dh更為恰當。針對函數關係y=f(x)的時候，有dy=f'(x)/△x，針對函數關係dIx:x=x,有dx=△x, 於是有dy=f'(x)dx。可是，表示df的dy與表示du的dy是一樣的嗎？表示dh的dx與表示dIx的dx是一樣的嗎？顯然，我們不能想當然地認為它們是一樣的，就像不能因為我跟你叫同一個名字就說我們倆是一個人一樣，必須做出論證，至少要論證把它們等同不會帶來矛盾。為什麼作者沒有論證呢？在這裡不妨替作者論證一下。不論證倒還好，一論證更麻煩了，因為一般情況下它們竟然不可能都一樣。為了避免符號的混亂，下面用表達微分定義的df,du,dh,dI_{x}等符號進行論證。對增量△t：有△x=h(t+△t)-h(t)，一方面dh=h'(t)dt，另一方面dIx=△x=h(t+△t)-h(t)=h'(t)dt+o(t)而h(t)不是線性函數時o(t)不為零， 所以dh和dIx在一般情況下不可能嚴格相等。既然微分符號帶來了混亂，那為什麼不用沒有問題的df,du,dh,dI等符號呢？這裡恰恰藏著微分定義的秘密——利用符號的混亂和讀者不嚴謹的想當然掩蓋微分定義和微分應用之間的矛盾。
2、微分在反函數中的應用。用微分可以十分簡單地給出反函數導數的倒數關係。如果y=f(x)在定義域上嚴格單調可微，那麼函數x=g(y)也單調可微，且
但按微分的定義和沒有歧義的符號g'(y)=dg/dIy和f'(x)=dy/dIx，由於dIx和dy並不一定相等，dIy和df並不一定相等，就得不到g'(y)和f'(x)的倒數關係了。
3、微分在隱函數中的應用。下面以x+y=1為例說明隱函數求導的應用。此方程確定了函數關係y=f(x)和x=g(y)，我們不用確定f，g的具體表達式就可求得它們的導數。方程兩邊同時求微分，得d(x)+d(y)=0，即3xdx+3ydy=0，所以 f'(x)=dy/dx=-(x/y)，g'(y)=dx/dy=-(y/x)。可是，在方程x+y=1中沒有確定的自變量和因變量的關係，連相應的微分定義都沒有。
4、當然，也有人可能會拋開微分，直接用導數解決2、3中反函數和隱函數的問題。以反函數為例y=f(x)=f(g(y))，利用鏈式求導法則Iy'(y)=f'(x)g'(y)，問題解決。隱函數也一樣，利用多元函數和偏導數也可給出不涉及微分的解決方案。既然如此，為什麼還要定義一個符號含義混亂，一應用就出問題的微分呢？這是因為微分應用極其廣泛，極其方便。作者也清楚「dx意義不明確，或者摒棄dx，微積分學恐怕真的扭曲不堪了」。數學如果要拋棄微分，那眾多的科學工作者絕不會同意。這就是為什麼用極限定義了導數後非要把微分給嫁接上來，哪怕邏輯錯誤也要把導數改成微商形式的原因。其實，微分是比導數更基本的概念，有了微分，導數就是微分之比，這才是符合導數實質的表達方式，導數的實質是變化率，是兩個瞬時量之比。微商本就是導數的定義，又何必繞一大圈來說明呢？更何況這樣的說明從邏輯上還是錯的。
3.丁小平工作簡介
丁從學科結構、邏輯矛盾、歷史來源等不同角度系統地論證了現行微積分原理的錯誤，指出了人類長期以來建立不起來不含錯誤的微積分原理的原因，並重建數學的新數-形模型，進而重建了新微積分原理。
人類需要的是知微積分方法行之有效所以然的微積分原理，而現行微積分原理只知其然，而不知其所以然。由於柯西對萊布尼茲的微積分原理的理解極為有限，他只能利用沃利斯以來的極限思想對牛頓的「流數」和「反流數」加以說明，本質上就是用極限論處理掉「o」項的牛頓系的微積分原理，但在解釋不了豐富多彩的微積分方法為什麼行之有效時又只好把萊布尼茲的微分拼湊進去。在這個原理中，首先，極限只是含沙射影地給出導數和定積分的定義，和求導數的部分方法，而未能直接反映導數與定積分的本質和機理；其次，拼湊了微分並解釋導數就是微商，但是對微積分的定義明顯存在問題；再次，定義導數抑或微分與不定積分是互逆關係，而不是論證為什麼它們之間是互逆關係；又次，把本來是同一數學結構的不定積分與定積分誤定為兩個數學結構，定積分是一個和式的極限，它與不定積分的關係僅在於藉助於不定積分進行計算。由此可見，這樣的微積分原理，即使在最基本的問題上闡釋微積分方法的機理也無法實現。
針對認為實變函數理論解決了微積分中的問題這一觀點，《略論作為微積分原理的完善的實變函數》一文明確指出實變函數理論並不能證明現行微積分原理是正確的。勒貝格在康託無窮集合論的基礎上，將測度歸結為性質不清晰而數量「無窮多」的超越數集合，這種排除可數集的方法可以不斷進行下去，並不能從本質上回答測度究竟由誰來承擔的問題，也不能回答點如何成線的問題。從哲學上看，康託用部分代替整體的無窮集合論也違反了整體大於部分這一在幾何原本裡面申明的公理，故在此基礎上構建的勒貝格測度理論是不可靠的。丁還指出康託定理的證明默認了前提條件：實數可以寫成無限不循環小數，而沒有區分無限不循環小數是動態過程，而實數是靜態數，動態過程是不可以等於靜態數的。
微積分原理錯誤的根源在於傳統數形模型無法承載瞬時量，丁通過建立新的數-形模型，來糾正傳統模型的惡無限缺陷，實現數模型與形模型的統一。其中有兩個重要理論創新：第一，建立了Werden(發生)概念，糾正了傳統數-形模型的自相矛盾性——一會兒是動態的一會兒是靜態的問題，形成了靜中有動的新模型，使得數學得以實現動態描述；第二，指出代數數和超越數都承擔不了測度，測度只能由Werden承擔。
對於一個基本夠格的微積分原理，「首先要說清楚微分的本質，當然，變分的本質也就一道說清楚了；其次要給出作為瞬時變化率的導數的瞬時比形式，這才說清了導數的本質；再次要闡釋清楚為什麼微分與積分是互逆過程，而不是只肯定微分與積分是互逆過程，當然，同時還要說明不定積分與定積分是一回事，只不過一個積分限任意，一個積分限確定罷了。」
丁的新微積分原理實現了數學上的逐點描述，比如微分的數學承擔者、導數的瞬時比形式、積分逐點累加等等，其中微分的數學承擔者問題不僅解決了數學自身的問題，也使得諸如虛位移原理等自然科學的核心問題得以解決。新微積分原理不僅可以解釋現行微積分方法之所以正確的原因，還可以據此揭示更多的微積分方法，同時還修正了現行微積分體系結構的扭曲，省略了繁瑣迂迴的推理。在新微積分原理中微分就是對某區間的點級微化，積分是對點級微化結果的累加，微分與積分互為逆運算，並不存在本質不同的定積分和不定積分，導數就是微商，極其簡單易學。這對我國的高等數學教育，以及科技人才的培養有重要意義。
在所作研究的基礎上，丁先生對「人類究竟需要什麼樣的微積分原理」這一問題做了如下回答：人類需要的微積分原理，不僅要講明如此這般豐富的微積分方法行之有效的基本機理，而且，還要闡釋393年以來與自然科學交織在一起的微積分方法的細枝末節的正確以及不足的原因。那種說不清甚至還要求剔除微分及變分的微積分原理肯定不夠格。
後記
博文作者懷著「匡謬釐正，遏止以訛傳訛甚至誤人子弟的局面擴大化」的拳拳之心，談了自己的所理解的微分本質，同時對丁小平先生的觀點進行了反駁，這本是科學良性發展的基礎，但作者文中還有諸多個人情緒的表達以及對於民科這個群體的偏見，行文中不乏諷刺挖苦之詞，這很容易導致原本公正客觀的學術討論變為對於所謂民科的聲討。
據本人查找到的資料顯示，2011年10月11日，丁小平先生在《科技創新導報》發表了《關於現行微積分原理的再思考》。文章發表後引起了媒體關注，人民網等媒體以《楊振寧預言今成現實：中國驚現諾貝爾級數學成果》進行了報導。同年，丁小平先生所撰寫的《新型微積分原理》獲得第四屆國際數學科學大會（The Fourth International Conference on Mathematical Sciences，2012）學術委員會的審核和公認，並受邀宣讀論文，因故未能成行。（苗東升、李世煇《由「數學大國」向「數學強國」邁進始於重視數學》）由此可見丁小平先生的數學成果是值得被廣泛討論和研究的。不應該抓住別人的身份而捨本逐末，吹毛求疵。
在此，談談本人對於民科的認識：民科應當指的是民間科學家，他們從事科學活動往往發自內心對於科學的熱愛或者為國爭光的願望，無經費支持，無情報交流，常常得不到科學共同體的認可，甚至還要受到普通大眾的鄙夷，這應該才是民科的本來面目。從科學史的角度來看，在近代科學實現建制化之前，從事科學活動都是憑藉個人愛好，科學的初期發展都是由這些「民間科學家」所推動。科學建制化後，「民間科學家」成了「官科」的對立面，在大眾心中慢慢的演變為「科學妄想家」，成了科學的敵人。但事實並非如此，曾獲國家自然科學獎一等獎的陸家羲先生便是很好的例證。
總之，不管是官科還是民科，都是我國科技工作的重要有生力量。對民間科學工作者的評價根本在於其成果本身，不應受科學以外的因素，諸如個人的某種偏愛、價值觀念以及其它社會因素的幹擾和影響。評價科學理論不能隨心所欲，由個人偏見所左右。因為科學的本色是追求真理，理論評價完全可以著眼於理論同經驗事實的一致性，理論內在邏輯的完備性，而不在於作者的身份。