微積分發明史

2020-11-24 天極網資訊

    好多人覺得數學沒有用，或者用處不大，上學學習的三角函數和二元二次方程組在實際生活中根本應用不到，一般來說，只是在購物的時候用到一些加減法而已。這種想法跟微積分是牛頓和萊布尼茨發明的一樣大錯而特錯。數學是物理的基礎，而物理發展則推動了我們的科技，這毋庸置疑，古往今來，絕大多數的發明家首先是一個物理學家。我們的文明發展到今天的地步，亦離開不數學，航海、天文、礦山建設等許多課題都有賴於數學的發展才能得以深入研究。有一個很典型的故事，一個物理系的學生問他的老師：「為什麼近一百年來物理學都沒有什麼驚天動人的建樹？」老師想都沒想直接回答道：「因為數學沒有發展。」這雖然只是一個則故事，真偽難辨，但已經能說明數學的重要性。而數學當中在現實生活中應用最廣泛的就是微積分。

    微積分的出現解決了一直困惑人們的兩個問題：第一是如何計算曲線上任意點的切線，即微分；第二是如何計算任意一塊區域的面積，即積分。所以微積分是微分學和積分學的統稱。

    微積分原理示意圖

    提到微積分，很多人就頭疼。但是學數學繞不開微積分，正如我國一句老話所說，「工欲善其事必先利其器」，微積分就是數學家手裡的「利器」，很多研究都是以微積分為基礎，其重要性不言而喻。提到微積分，很多人以為就是函數，其實微積分是一個統籌的概念，主要包括極限、微分學、積分學及其應用，其中微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論，積分學包括求積分的運算。提到微積分，很多人第一時間就想到牛頓和萊布尼茨，認為是這兩個人發明創建了微積分，其實不然，實際上微積分是經過幾代數學家的持續努力和研究，經過漫長時間的發展演變才得以形成。

    牛頓畫像

    牛頓和萊布尼茨的貢獻在於將微積分更加系統和成熟地表述出來，形成一種理論學科。這些人包括費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格、巴羅、瓦裡士、克卜勒、卡瓦列利等知名數學家，他們所提出的理論為微積分的創立做出了貢獻。費馬曾經提出用水平切線來找函數最大值和最小值的方法與今天微積分的求解方法極其相仿，因此拉格朗日甚至稱費馬才是「微積分之父」。更早之前甚至可以追溯到公元前7世紀，古希臘科學家泰勒斯就對球的面積、體積、與長度等問題的研究就含有微積分思想。阿基米德在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉雙曲線所得的體積的問題中也隱含著近代積分的思想。三國時期的劉徽所研究的割圓術對積分學也有研究。遺憾的是，在微積分發展最為迅速的中世紀，我國正處於閉關鎖國的明清時代，沒能與世界上其他的數學家一起狂歡。

    萊布尼茲畫像

    在當時，牛頓和萊布尼茲發明微積分還引起了一場軒然大波，英國皇家學院支持本土的牛頓，而另外一些歐洲大陸的國家則推崇德國的布萊尼茨，這一對抗竟然綿延了一個世紀之久，導致了微積分發展的停滯。事實上，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，並且有意思的是兩個人也是在相近的時間裡先後完成自己的研究。牛頓創立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是萊布尼茨正式公開發表微積分這一理論卻要比牛頓早三年。時間的先後並不能說明多少問題，而且他們雖然都是研究微積分，但研究方向其實並不相同，牛頓在1671年寫了《流數術和無窮級數》，指出變量是由點、線、面的連續運動產生的。他在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度，或已知運動的速度求給定時間內經過的路程。萊布尼茨在1684年發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻。這篇文章的題目相當搶眼，叫做《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。這篇看上去有些潦草的文章卻包含了現代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發表了第一篇關於積分學的文獻。現今我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨所選擇的。簡單來說，牛頓研究微積分著重於從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重於幾何學來考慮的。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯繫在一起：一個是切線問題——微分學的中心問題，一個是求積問題——積分學的中心問題。

    微積分的英文是Calculus，這並非英語，而是拉丁語，原義是小石頭。看到這裡，可能很多人都不明白了，到底是誰要用這樣一個平實普通的事物來為命名如此高大上的一門新興學科？答案就是萊布尼茨。在古時候，人們會使用小石頭作為計算工具，久而久之，小石頭就代表了一種計算方式。因此萊布尼茨很巧妙地採用這一傳統的稱呼來為新興事物命名。另外，萊布尼茨還用拉長的S來表示積分，用d來代表差，這兩個單詞也都是從拉丁語中化來。而牛頓則創造出Fluxion（通量）這個名詞來表示導數。並且發現了第一個版本的微積分定理。所以很難說兩個人誰對微積分發明的貢獻更大。現在，人們普遍認為是牛頓、萊布尼茨兩人分別建立起各自的體系，沒有互相交流，更不存在抄襲這樣的惡劣問題。筆者這是一種非常正確和健康的學術心態，與其去糾結這樣難以查明的歷史遺留問題，不如多做一些科學研究為明天的數學大廈建設增磚添瓦。這才是每個學者應該關心的問題。

    很多人不學習數學，也不了解數學，但是不得不承認，微積分真的有用，我們生活的物質世界就是由這樣的理論支撐才得以建立。

本作品為科普中國原創，轉載時務請註明出處

 

（作者：科普中國責任編輯：天極科普君）

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