【微積分基本定理】圖解普林斯頓微積分 14

2021-03-02 遇見數學
第 17 章 微積分基本定理(The Fundamental Theorems of Calculus)17.1 用其他函數的積分來表示的函數

考慮積分 ∫x0t2dt∫0xt2dt 實際上是一個以積分上線 x 為變量的函數, 這就有

觀看下面的動畫:

17.2 微積分的第一基本定理(The First Fundamental Theorem)

觀察下面的圖形:

上圖淡紅色的陰影部分, 當 h 很小的時候幾乎為小豎條, 所以可以用計算長方形面積的方法來估算該豎條的面積, 它的底從x 到x+h, 高從0 到f(x), 所以面積是 h*f(x) , 也就是:

微積分的第一基本定理:如果函數f 在閉區間 [a,b] 上是連續的, 定義F 為

則 F 在開區間 (a,b) 內是可導函數, 而且 F'(x)=f(x)

反導數的引入(Introduction to antiderivatives)

假設 f(t)=t2, a=0f(t)=t2, a=0 所以有

微積分的第一基本定理告訴我們 F'(x) = f(x). 因為f(t) = t2t2, 所以有f(x) =x2x2; 也就是說, F'(x) = x2x2. 換一種說法, 函數 F 的導數為 x2x2. 我們說 F 是 x2x2 的反導數(關於x).

17.3 微積分的第二基本定理

微積分的第二基本定理：如果函數 f 在閉區間[a, b] 上是連續的, F 是 f 的任意一個反導數(關於x), 那麼有

17.4 不定積分(Indefinite Integrals)

到目前為止, 我們使用兩種不同的方法計算定積分：黎曼和的極限和反導數.

如果你知道一個函數的導數, 那麼就會很快求出這個導數的反導數. 具體情況是：

不定積分沒有積分上下限, 而定積分有.

定積分是一個數, 它表示由曲線 y=f(x), x 軸以垂線 x=a 和 x=b 所圍成的面積;不定積分是一個函數的集合. 這個集合由函數 f 的所有反導數(關於 x)組成. 例如:

不定積分的兩個性質:

17.6 怎樣解決問題：微積分的第二基本定理

「予人玫瑰, 手留餘香」

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相關焦點

  • 微積分基本定理的含義
    微積分基本定理的可表示為函數的定積分的值等於原函數在積分區間端點處的函數值之差。直接看到公式，可能不能很直觀地理解其含義。假如我們把x當作時間、f(x)當成隨著時間變化的速度，函數f(x)的定積分就是曲邊梯形的面積，代表整個區間內的位移，也就是位移函數F(x)在兩個時間點的函數值之差。
  • 微積分基本定理的理解
    也叫牛頓-萊布尼茲公式，通常也被稱為微積分基本定理，揭示了定積分與被積函數的原函數之間的聯繫。
  • 微積分基本定理的意義
    從字面意思上來看微積分可劃分為兩個獨立的部分：微分學（包含微分和反微分）、積分學（包含定積分及其相關理論）兩部分，但是微積分基本定理把二者聯繫了起來，所以從這個角度來說微積分是一個整體.
  • 一個比喻搞懂「微積分基本定理」
    為了討論微積分基本定理，我們先來認識一種函數它的長相是以下再用一個比喻, 來助你理解這個函數的意義, 以及微積分基本定理的意思.假設你早上九點開始念書.我們平常更常用到的, 是微積分基本定理的第二部分.
  • 函數、圖像和直線-圖解《普林斯頓微積分讀本》01
    第一章 函數、圖像和直線[遇見數學] 基於風靡美國《普林斯頓微積分讀本》一書所製作圖解系列, 內容章節安排完全按照此書推進, 提供更多的圖像和動畫來讓讀者體會微積分的無窮魅力, 建議配合原書來學習. 還請各位老師和讀者多多指導, 方便我們進一步改進. 1.1 函數定義函數是將一個對象轉化為另一個對象的規則.
  • 教學研討|1.6 微積分基本定理
    本節共分兩部分：第一部分是微積分基本定理的推理生成過程；第二部分主要讓學生熟悉微積分基本定理的使用，著重說明定積分值與曲邊梯形面積的關係，為下一節習定積分的簡單應用奠定基礎。而第一部分重在讓學生在探究過程中學會研究某些數學問題的過程與方法.作為本節內容的第一課時，重點在後者.特別是，本節課內容是體現新課程讓學生積極動手實踐、自主探索、合作交流學習方式的良好素材.
  • 將微積分基本定理中的牛頓-萊布尼茲公式寫成散度定理的形式
    我們知道，閉合曲線下的格林公式，和封閉曲面下的高斯散度定理，它是許多自然科學最基本的定理和基石。對於這些定理的討論有很多文章和解答，本篇我們不再討論，而是將其延伸，都知道一元微積分最基本的公式，即牛頓-萊布尼茲公式，如下圖，如果將其用散度表示出來，是什麼樣式，你想過嗎？
  • 高中數學:定積分與微積分基本定理,回歸教材訓練,輕鬆掌握!
    在高中數學中、定積分與微積分作為一個難點出現，高考對該部分內容的常規考法一般為利用微積分基本定理求已知函數在某一區間上的定積分或求曲邊梯形的面積。那麼在明確考點之後，就要針對性的練習，才能夠明確提分的方法。
  • 數學史上最重要的證明之一:微積分基本定理證明
    本篇文章旨在證明微積分基本定理，對於不那麼熱衷於代數的人來說，這是一種視覺方法，而對於那些對精確性不那麼嚴格的人，要採用一種代數的，稍微更嚴格的方法。我們將理解數學中最重要的歷史證明之一。之所以重要，是因為它將以前不可能解決的問題（即函數的積分問題）簡化為查找導數的藝術。
  • 【散度定理】圖解高等數學-下 28
    散度定理二維平面 Green 定理 - 散度法向形式說的是, 在向量場中穿過簡單閉曲線的向外流量可以通過下式做積分求得散度:
  • 新發現:一元微積分基本定理與格林公式之間存在著強大的數學關係
    格林公式是高等數學中的重要內容，但是要理解他，需要你掌握一元微積分和偏導數的所有內容，格林公式是非常有趣的，而且充滿了數學的魅力，今天我們拋開複雜的數學推導，僅從微積分的基本定理和圖形來向你展示格林公式的原理：
  • 最具啟發性的證明:用微積分基本定理推導出泰勒公式
    大多數微積分教科書都會用到泰勒定理(帶有拉格朗日餘項)，並且可能會提到它是均值定理的推廣。泰勒定理的全部一般性證明可能很短，但不是很有啟發性。幸運的是，一個僅基於微積分基本定理的非常自然的推導對於大多數函數來說是必需的。
  • 《簡單微積分》:背公式不是必須的
    內容簡介《簡單微積分》
  • 大師寫的行雲流水的微積分教材:《微積分及其應用》
    ·特雷爾合著的單變量微積分教材，內容覆蓋了一元微積分的基礎，包括：數列的極限、函數的連續性、函數的微分、可微函數的基本理論、導數的應用、函數的積分、積分的方法、積分的近似計算，以及微分方程。《微積分及其應用（中譯本）》與拉克斯的另一著名教材《線性代數及其應用》簡明清晰、行雲流水的風格一致，通過引入許多背景自然的應用實例，兩位作者致力於引導讀者對微積分這一重要的基礎課題獲得理解。《微積分及其應用（中譯本）》末尾還提供了部分習題的答案。
  • 微積分是數學的基礎,極限是微積分的核心,如何掌握「極限」?
    無論是非數學專業理工科的高等數學，還是數學專業的數學分析，微積分都是其最基礎、最重要的內容。在微積分的基礎上，繼續發展出：常微分方程論、偏微分方程論、微分幾何、實變函數論、複變函數論、解析數論等分支學科。微積分的地位，由此可見一斑，想躲是躲不過去的。
  • 微積分的歷程:什麼是微積分?所要解決的 4 個主要問題是哪些?
    - 約翰·馮·諾伊曼摘自 [遇見數學] 系列文章《動畫圖解微積分》，本節的主要內容：微積分是研究變化的科學微積分要解決的 4 個主要問題微積分的系統發展是在 17 世紀才開始的，而它就是一門研究、計算變化的科學，主要分為兩類: 微分(Differential Calculus) 和積分(Integral Calculus)，兩者是分析中的兩種基本的極限過程，實際互為逆運算，也就是被統一為微積分學的原因。
  • 微積分教學的幾點淺見
    對微積分這門學科來講，就是以微分與積分這對矛盾作為研究對象的。這點在恩格斯、列寧等一些經典著作中都早已指出。也就是說：微積分就是研究微分與積分這對矛盾的學問。這就決定了微積分的內容是由三個部分組成，即：微分、積分與指出微分與積分是一對矛盾的微積分基本定理這三部分。對於微分的部分與積分的部分都易於理解。對於第三部分，指出微分與積分是一對矛盾的微積分基本定理，也許得多說幾句。
  • 從一元微積分基本定理出發得到矩形下的格林公式
    格林定理的解釋和說明有很多，今天我們從一種很少見的方式出發，來得到格林定理我們從微積分基本定理出發，我們可以把它寫成這種形式，如下兩個變量中相應的表達式由兩個變量函數的偏導數在矩形上的二重積分組成。
  • 「微積分中值定理」與電壓有效值和平均值的淵源
    微積分中值定理是微積分學中最簡單的也是非常重要的定理，它在電子學，物理學，無線電領域應用廣泛，本篇就來談談中值定理的一些有趣的結論和應用，如下就是f(x)在連續的(a,b)上存在某點c的中值定理。在從數學的角度，即微積分中值定理來驗證我們的猜測，如下得到f在(a,b)上存在某個點c，這個c=0那麼你很容易想到符合上述結論的有正弦函數，餘弦函數。
  • 牛頓與萊布尼茨——誰是微積分的「剽竊者」?
    自從17世紀微積分問世以來，數學家和科學家在討論連續變化的數量時便有了科學依據，微積分基本定理為解決這類數量的問題提供了實用工具。沒有微積分，我們將無法理解現代科學，特別是物理學與工程學。那麼，微積分最早是由誰發明的呢？