微積分的歷程:什麼是微積分?所要解決的 4 個主要問題是哪些?

2020-12-06 遇見數學

微積分是現代數學取得的最高成就，對它的重要性怎樣估計也是不會過分的。- 約翰·馮·諾伊曼

摘自 [遇見數學] 系列文章《動畫圖解微積分》，本節的主要內容：

微積分是研究變化的科學微積分要解決的 4 個主要問題微積分的簡要歷程我們為什麼要學習微積分微積分是研究變化的科學

微積分(Calculus)，拉丁文中意指用來輔助做計算所用的小石子，對當時的人來講算術就是擺弄小石子。 下面圖畫出自於16世紀海德堡出版的《哲學珠璣》，圖中右側男子所用就是在用一些石子做運算。

《哲學珠璣》中的插圖

人們正是在數這些小石子(Calculi)的基礎上，才有了進一步更複雜、抽象地計算，於是名詞Calculation(計算)也由此而來。微積分的系統發展是在 17 世紀才開始的，而它就是一門研究、計算變化的科學，主要分為兩類: 微分(Differential Calculus) 和積分(Integral Calculus)，兩者是分析中的兩種基本的極限過程，實際互為逆運算，也就是被統一為微積分學的原因。

關於變化我們身邊隨處就可以看到實例，小到分子粒子，大至宇宙中天體的運動，物體始終都在運動變化，每一瞬間都會改變它們的位置。 微積分是以數學方式深刻理解連續變化的重要工具，也是透過對"無窮"的理解與掌握髮展出來的一套計算方法。

微積分要解決的 4 個主要問題

微積分最初是為解決自遠古以來人類感興趣的四個主要問題而誕生發的。古希臘人對這些問題進行了大量研究，後來中國和中東都有更進一步的發展。 但現代微積分來自於歐洲，由 17 和 18世紀的數學家們進行了研究，直至艾薩克·牛頓與戈特弗裡德·萊布尼茨在前人的基礎上發明了微積分這個強大的數學工具。

這些數學家前赴後繼希望解決的這 4 個問題是：

怎樣求曲線的切線？怎樣計算曲線下面積？如何計算物體在某個位置上的速度、加速度？找出最優解？——函數的最大值或最小值問題▌曲線的切線

怎樣找到曲線的切線是一個在許多不同領域都有實際應用的問題。它本質是幾何上的問題，但光學和力學都與之有著密切聯繫。 比如在光學領域，透鏡的設計就用到曲線的切線和法線的知識。而在力學中，沿路徑上的移動物體的運動方向實際上就是該點處的切線方向。

直線的點斜式方程確定一條直線。 但如何找到曲線上某點的斜率呢。 人們會用兩個非常非常靠近的點來近似。觀察下圖割線趨近切線的動畫過程：

▌曲線的面積和長度

如何算出曲線的面積和長度是天體力學中一個非常重要的問題。天文學家的目標是找到行星在給定時間內運行的距離。

面積和長度的問題也擴展到找到兩條曲線之間的區域，計算固體的體積，找到物體的質心，甚至計算諸如行星之間相互作用的引力。

下面是劉徽割圓術的動畫示例，它給出了邊長從 3 到 50 的正多邊形逼近圓的過程：

隨著邊數的增加，多邊形看起來越來越像外接圓，面積也逼近 π 值。

▌速度與加速度

平均速度很容易計算: 物體運動的距離除以時間就可以了。 但是由於物體運動的複雜性——速度和加速度每時每刻都變化的話，平均速度並不能滿足科學家們在不同的時刻來計算其速度的需求。 為了計算這個瞬時速度，就需要計算在時間跨度近似為 0 時間段內的情況。

在下一個示例動畫中，粒子(黃色)在運動軌跡上，其單位速度(藍色)和單位加速度(紅色)顯示如下：

▌最優化

也就是求函數的最大最小值問題。從古至今，人們一直都致力於找出最佳的執行方式，比如商家想知道要生產多少物品，以便最大限度地降低成本並最大限度地提高收益。天文學家研究行星的運動也關注最值問題。

考慮下面這個相對簡單的問題：假設一位農場主只有300 英尺長的籬笆可供使用, 並且他想要圍成一個直角三角形的農場, 並且使新圈出的地的面積(下圖綠色三角形區域)儘可能地大. 那麼這塊地的周長和面積分別為多少？下面動畫顯示了改變三角形三邊時候，籬笆所圍成面積的變化過程：

微積分的簡要歷程

古希臘最傑出的科學家阿基米德(Archimedes)對數學和物理學的影響極為深遠，他與牛頓和高斯被西方世界評價為有史以來最偉大的三位數學家。 他利用"逼近法"算出球表面積、球體積、拋物線、橢圓面積，後世的數學家依據這種方法加以發展成近代的"微積分"。

我國三國時期數學泰鬥劉徽用割圓術這種極限思想來計算圓周率，"割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓合體，而無所失矣"。 求得圓周率的近似值為 3.14， 這種極限思想和無窮可分是古希臘數學不能比擬的。

除了希臘人和中國數學家之外，十七世紀的歐洲數學家們試圖徹底解決這四個問題。

最早的先驅之一是法國業餘數學家皮埃爾·德·費馬(Pierre de Fermat)，他在《求最大值與最小值的方法》（1637）中提供了如何使用幾何方法計算曲線切線的基本概念。

德國天文學家、數學家約翰內斯·克卜勒(Johannes Kepler)在 1615 年撰寫《求酒桶體積之新法》書中就利用希臘人的方法來計算測量容器容積的方法。在他這本書中提到，通過將區域分成更小和更易於測量的形狀，用近似區域來逼近算出容積體積。

英國數學家伊薩克·巴羅(Isaac Barrow)在他的《幾何學講義》（1669）中使用現在稱為"微分三角形"的方法通過純幾何方法計算曲線的切線，並且是最先將切線問題與面積問題聯繫起來的。

其後他的學生艾薩克·牛頓(Isaac Newton)，在其指導下，於1665年發表廣義二項式定理，最終開始發展一套新的數學理論，也就是後來為世人所熟知的微積分學，牛頓稱之為"流數法"(Method of Fluxions)。

上面圖形：國王中學窗臺牛頓的籤名(左上)，牛頓的《自然哲學的數學原理》(右上)，牛頓畫像(下左一)，相傳發現萬有引力的蘋果樹(下左二)，1672年使用的6英寸反射望遠鏡複製品(下左三)，威斯敏斯特教堂內的牛頓之墓(下左四)。(圖自維基)

1684年，德國數學家戈特弗裡德·萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz)在漢諾瓦擔任圖書館館長期間，發表了論文《一種求極大值、極小值和切線的新方法，它也適用於有理量與無理量以及這種新方法的奇妙類型的計算》，這是世上第一篇公開發表的微分學論文。 他所發明了微積分的幾個 dx，dy 和 ∫ 數學符號被更廣泛的使用。

1691 年，瑞士數學家約翰·伯努利(Johann Bernoulli)出版了世界上第一本關於微積分的教科書。 約翰·伯努利及兄長雅各布·伯努利是萊布尼茨的朋友，他們不但迅速掌握了萊布尼茨的微積分並加以發揚光大，而且是最先應用微積分於各種問題的數學家。

近代數學先驅之一的瑞士數學家萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)完善和擴展了微積分，為無窮級數，微分方程等分支的發展奠定了基礎。

19世紀微積分學的準則並不嚴格，法國數學家奧古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy)拒絕當時微積分學的說法，並定義了一系列的微積分學準則。柯西在1823 年發布的《無窮小分析教程概論》在微積分歷史上影響頗深，他認為全部微積分應當建立在極限思想的基礎上:"當屬於一個變量的相繼的值無限地趨近某個固定值時，如果最終同固定值之差可以隨意地小，那麼這個固定值就稱為所有這些值的極限。 "

德國數學家魏爾斯特拉斯進一步的嚴格化，給函數的極限建立了教科書中一直沿用到今天嚴格的 ε-δ(epsilon-delta)] 定義，來代替柯西的"無限趨近"描述，使極限理論成為了微積分的堅定基礎，系統建立了實分析和複分析的基礎，微積分學至此基本發展完善。

我們為什麼要學習微積分

學習微積分是大多數人在大學期間所要經歷的一個重要裡程，儘管並非每個人都會成為數學家、工程師、經濟學家、物理學家或程式設計師。 但微積分非常有用，因為它的應用範圍非常廣泛，幾乎影響到現代生活的各個領域，所有技術型的崗位都無法避免，會用得到這個工具。

再來如果我們清楚了如何解決困擾人類千年的這 4 個問題，了解到從古至十八世紀這些最偉大的數學思想，肯定會有助於提高一個人的自我成長和思考問題的能力，這都將會是讓人非常滿足、欣喜的。(本節完)

相關焦點

  • 人類為何要發明微積分?是為了解決什麼問題?
    微積分是順應時代的發展，經過很多數學家積累並總結起來的一套數學運算系統，目的是為了解決科學模型中的變量求解問題。
  • 科普:微積分是個啥?
    李電匠是學電子的，因為是填鴨式學習，在上大學時，學微積分的時候沒有講麥克斯韋方程，沒有講數字電路，等用到複變函數，傅立葉級數了，微積分又丟了，後面什麼拉普拉斯變換，Z變換等等就根本看不懂了。直到畢業後，根據工作需要，重新撿起來，發現原來如果不知道事物的緣由，你就不知道過程和後續。微積分也是如此。在任何領域裡面，最後的計算式都是一個一個的標準數學模型。微積分就是一類標準數學模型。
  • 王珂的微積分講義
    雖然，對很多學生而言，期末考試可以考個八九十分，甚至滿分，但顯然，考試並非我們學習真正的目的。真正的目的，是理解微積分的意義和用途。那麼，即使我們考了滿分，就真弄清了微積分有什麼用嗎？其實，在學習高等數學的過程中，有些不起眼的問題，是非常關鍵，但又令人相當困惑的：• 為什麼高數課本開頭就講極限？• 極限為何用ε-δ語言定義？是誰讓定義如此晦澀？
  • 科技圈那些年:懸鏈線引發的爭執,微積分解決了什麼問題
    科技圈那些年：懸鏈線引發的爭執，微積分解決了什麼問題大家好我是你們的老朋友笑笑，為了展現科技的魅力，以後的每一天我都將為大家放送最幹的貨，希望你們會喜歡。我們該如何看待一個科學家有多偉大？那就是把它跟同時代的科學家相比，因為科學在知識細節上總是在進步，後臺科學家總是站得更高，微積分可以解決什麼樣的問題？有兩個問題非常典型。第一個問題是，有兩根電線桿，之間接著一根電線，這根電線一定不是繃直的，她肯定是自然下垂的，那麼這根電線如果足夠的柔軟，他略微下垂的樣子滿足什麼規律呢？
  • 微積分發明史
    而數學當中在現實生活中應用最廣泛的就是微積分。    微積分的出現解決了一直困惑人們的兩個問題：第一是如何計算曲線上任意點的切線，即微分；第二是如何計算任意一塊區域的面積，即積分。所以微積分是微分學和積分學的統稱。
  • 微積分教學的幾點淺見
    （一）三個組成部分首先要弄清楚微積分包括哪些內容，「對於某一現象的領域所特有的某一種矛盾的研究，就構成某一門科學的對象現行大部分教科書中的符號與 Wieorstrass 當年所用的幾乎沒有什麼差別。這種從極限理論開始講微積分的教材是當前大多數「嚴格」微積分教材的模式，尤其是前蘇聯的教材。這種說法已為大家普遍接受，我也不必贅述了。但是我認為微積分的發展還有一個第三階段，這往往不被人們所注意，這就是外微分形式的建立。
  • 科普,微積分是個啥?
    從小學開始我們就在學習數學，但是大學之前的數學只能算是思維訓練。而微積分才算是數學真正的起點，是很多學科基礎中的基礎。下面，跟著小編一起來學習——微積分研究的是什麼？他繼承了第谷的天文觀測數據之後，就以「日心說」為假設，花了好幾年的時間，日算夜算，歸納總結出了克卜勒三定律（是的，活生生的通過數據猜出來的），成功地預測了一個個天文現象，達到了中世紀天文的高峰。
  • 你所不熟練的大招——微積分1
    微積分在高考中的考察都是以直接給出式子，運用牛頓-萊布尼茨公式直接求解。
  • 從「芝諾悖論」開始,談微積分
    ，讓你們體驗一下什麼叫「高級」。牛頓雖然一直在完善他的理論，並且也寫了一些關於微積分的論文，比如《流數法與無窮級數》等等，但是卻一直不公開發表他在微積分方面的核心成就，這讓萊布尼茨後來搶在了前面。否則，也就可能沒有後來的微積分發明權之爭了。牛頓研究微積分，在很大程度上是為了解決力學問題，特別是這樣三個問題。
  • 微積分及其應用
    諮詢熱線：0471-4969085　　摘要：微積基本公式 將微積分中的定積分及不定積分緊密聯繫在一起，使生活的極限問題、經濟效益問題解決起來更容易。對微積分的學習體會　　通過對微積分的學習，我了解到定積分和不定積分兩個不同的概念，二者既有區別又有　　聯繫。首先，利用定積分可以解決求曲邊梯形的面積問題。例如：為了準確草場的畜牧量，需要先估算草場面積，對於不規則圖形的草場的面積計算，就運用到定積分，也就是「窮竭法」的指導思想。另一個概念，既不定積分，不定積分可以解決生活中的經濟成本問題。
  • 你也能懂的微積分
    也就是說，2個綠色三角形的面積之和剛好是1個藍色三角形面積的1/4；4個黃色的三角形的面積之和剛好是2個綠色三角形的1/4，那麼就是1個藍色三角形面積的1/16，也就是（1/4）²……如果我們把所有三角形的面積都折算成第一個藍色三角形ABC（用△ABC表示）的面積，那麼大弓形的面積S就可以這樣表示：S=△ABC+（1/4）△ABC+（1/4）²△ABC +（1/4）³△ABC……這東西放在今天就是一個簡單的無窮級數求和問題
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    今天我們給各位考生分享AP微積分的複習心經，相信很多考生都會在備考AP時首選微積分，這門學科的複習套路還是滿滿的，大家可以多多留心總結適合自己的複習方法哦。1.AP微積分基本介紹：首先，微積分分為四個部分，大家可以看到，考試時間相對比較充裕，過往考生只要認真備考，大部分情況下可以完成題目。
  • 科學網—找到微積分中的「主角」
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  • 【微積分基本定理】圖解普林斯頓微積分 14
    第 17 章 微積分基本定理(The Fundamental Theorems of Calculus)17.1 用其他函數的積分來表示的函數考慮積分
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    導語：之前發表了一些關於微積分方面的文章，很多網友都在對阿基米德、牛頓、歐拉、高斯等數學大神佩服的五體投地，感慨歐洲的那些數學家們簡直是神一樣的存在，與此同時有一些網友問到：我國古代數學在微積分方面有哪些貢獻？他們是否摸到了微積分的門檻？下面我們主要談一下我國古代微積分思想的萌芽和發展以及微積分在中國的傳播，帶你了解這段塵封的數學史！
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    而微積分思想的理解、工具的使用，只需要理解好一個核心的概念「極限」！充滿「極限」的微積分微積分中處處充滿著辯證地矛盾：常量與變量、收斂與發散、有限與無限、近似與精確、連續與間斷、離散與連續、微分與積分等，而所有的這些概念無不與「極限」相關。
  • 2017年AP微積分考試變化有哪些
    新東方網>留學>留學考試>AP>正文2017年AP微積分考試變化有哪些 2017-01-19 10:52 來源：新東方網
  • 微積分原理之辨析
    4、當然，也有人可能會拋開微分，直接用導數解決2、3中反函數和隱函數的問題。以反函數為例y=f(x)=f(g(y))，利用鏈式求導法則Iy'(y)=f'(x)g'(y)，問題解決。隱函數也一樣，利用多元函數和偏導數也可給出不涉及微分的解決方案。既然如此，為什麼還要定義一個符號含義混亂，一應用就出問題的微分呢？這是因為微分應用極其廣泛，極其方便。
  • 微積分的運用
    你要問小編我，我不會微積分，不會數學，不會…對我的生活有影響嗎？這輩子我學過很多東西，大部分都沒好好學過，現在也忘完了。我也不覺得生活上有什麼困難，就算有困難也不是微積分能解決的。但是不等於說微積分，高等數學就沒用了。看過有人這麼說過：我們學習高深的科學，最起碼是在培養我們對自然的敬畏之心，只有學習了物理，高數，化學，生物等等，你才不會覺得修水庫就是挖坑，造火車就是焊鐵皮，當醫生就是看病抓藥，考古就是挖死人墓，蓋樓房就是砌磚。最可怕的是無知。
  • 微積分初步
    建議以高中數理→微積分→物競知識→積分進階這樣的流程來學習。