一個比喻搞懂「微積分基本定理」

2021-02-15 輕鬆學高等數學

微分學探討切線斜率, 而積分學求面積, 看起來是兩回事. 

然而微分與積分在數學家們不斷研究的過程中, 某些敏銳的數學家, 例如, 牛頓的老師 Issac Barrow, 已經隱約察覺此二者之間似乎有互逆的關係. 

後來牛頓與萊布尼茨, 不但都系統性地發展微分與積分, 並且也提出了二者之間的互逆關係, 由此奠定了微積分學的重要基石.

以積分的定義來說, 我們要進行分割、 近似、 求和、 取極限的步驟, 有時還要搭配和差化積公式、 有時要改變分割方式, 或者改變取樣方式. 如此耗費工夫又難寫, 等你做完一題積分, 秦始皇都已經把萬裡長城蓋好了.

然而，當我們看出積分與微分的互逆性以後, 我們便可以將積分問題的大麻煩(分割、 近似、 求和、 取極限), 變為小麻煩 (求出反導函數再代值). 仍可能很不好做, 但已經簡化不少.

為了討論微積分基本定理，我們先來認識一種函數它的長相是



可稱為變限函數, 照字面看是「將變數放在積分上限」 的意思. 因此要注意它的變數是放在積分上限的位置哦.


將函數寫成這副「德性」, 是什麼意思呢？就是說現在有一個新函數


為了不致變數混淆, 先作

我們現在對於


以下再用一個比喻, 來助你理解這個函數的意義, 以及微積分基本定理的意思.


假設你早上九點開始念書. 念書效率總是有高有低的,


如果你讀到下午三點, 那麼你的念書成果就是


如果你讀到晚上九點, 那麼你的念書成果就是


中間當然可以去吃飯上廁所啦, 那段時間效率變成 0 而已. 所以,


假設現在你已經念得很累了, 正在考慮要不要去睡覺. 你心想, 如果現在多念一小段時間, 所造成的念書成果變化率還蠻大的話, 那就先撐著（想想高考期間衝刺的你）. 如果很小的話, 那還是先休息好了.


多念一小段時間, 所造成的念書成果變化率, 這不就是將


可是話說回來, 什麼叫做「多念一小段時間所造成的念書成果變化率」 呢？說穿了不就是念書效率嗎？也就是說,


如果你能理解我在說什麼, 這其實就是微積分基本定理的第一部分了！

我們平常更常用到的, 是微積分基本定理的第二部分.

有了微積分基本定理第二部分以後, 我們不必每次積分都在做分割、 取樣、 求和、 取極限. 只要想辦法找出被積分函數的反導函數之一, 再代入上下限並相減即可. 


所謂「之一」 意思是：


微積分基本定理的第一部分

如果先將函數作積分, 之後再微分, 就會回到. 


至於微積分基本定理的第二部分

如果先將函數微分, 之後再積分, 就會回到. 


我們將此二部分合起來看, 就變成了 

微分與積分是互逆的操作!!!

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