中學數學沒有介紹極限概念，更沒有介紹連續函數概念，也沒有講不定積分，但講了導數，講了定積分，還講了微積分學基本定理。大學老師一定納悶，不講極限如何講導數？需知極限乃微積分的靈魂，沒有不定積分概念，能不能講清楚微積分學基本定理？中學老師對這個問題也很迷惑，所以有一次中學邀請我去講了導數第一節課，後來又受邀去講了微積分學基本定理第一課。
沒有不定積分概念未必不可以講定積分，事實上不定積分是後來數學家發明出來的概念，定積分才有著重大意義。
以路程為例引入微積分基本定理是比較恰當的，學生也容易接受，不過課本上的介紹方法讓學生有點不知所云。本質上講，課本的意思是「將時間分割之後，每一個時間段所走過的路程用小區間上路程曲線段左端點處的切線段近似替代這段曲線，利用直角三角形和正切（切線的斜率）算出對應的高，這個高就是這個時間段上物理走過的近似路程，累加起來再取極限就是物體走過的路程了。對路程問題用這種方式來解釋是行得通的，雖然學生聽起來有點茫然。但這一方法如何解釋一般情形下的定積分問題呢？例如，怎麼解釋正弦函數在某個區間上的定積分？用上述方法恐怕會令學生暈頭轉向，換一種方式或許更好，而且可以解釋一般函數的定積分問題。我是圍繞著三個問題這樣展開的：
1、定積分的前世今生
首先詢問學生定積分是怎麼來的，為了解決什麼問題，接著從古希臘的面積問題開始（割圓術），直到一般圖形的面積問題，以及物理學上出現的諸如壓強變化的情況下如何求壓力？由此說明定積分的重要性，接著，話鋒一轉，如何計算定積分？我通過幾個簡單函數的定積分問題說明按定義計算定積分是件十分困難的事，有沒有一個一般的方法可以方便地計算定積分？於是問題轉向了下面的
2、如何計算定積分？
我也是從路程問題出發，但沒有採用書本上的方法，而是和學生一起溫習了路程與速度的關係，已知路程如何求速度？學生很清楚：S』(t)=v(t)，其中S是路程，V是速度，接著分析反問題，已知速度如何計算路程？在任意時間段上，平均速度與瞬時速度之間是什麼關係？平均速度顯然介於最快速度與最慢速度之間。定積分的定義中，在任意小的區間裡可以取任一點處的函數值並不影響和式的極限，換言之，最終的極限是一定的。因此用該時間段上的平均速度替代任一點處的瞬時速度也不會改變極限的值。由於中學課本處理的全都是初等函數，所以這個方法對一般的函數也適用，然而，當我讓學生上來講解一般情形下的公式時，學生受教材影響太深，試圖用書本上的方法解釋。當函數產生波動時如何解釋呢？教材中的方法就顯得有點無能為力了。
最後總結出：能不能計算一個函數的定積分，關鍵是能不能找到一個函數，使得這個函數的導函數剛好是被積函數？一旦找到了，定積分問題就迎刃而解了。由此也可以看到，積分與求導是互逆的。
3、例子
有了微積分學基本定理，一般的定積分問題自然不在話下，中學對此要求不高，無需太複雜的例子。