多元變量微積分-第一講-向量

2021-02-20 劉梳子

內容來源：網易公開課 多元變量微積分 （Pro. Denis Auroux）

第一講 向量

向量：既有方向又有大小的量

通常情況下會將向量放到坐標系中，常用的是笛卡爾坐標系，向量起始點通常放到原點（註：沒有固定的起點，只要方向相同，大小相等，就認為兩向量是相同的，但為了用數值坐標來表示向量，將起始點放到原點），因此，三維向量可以寫成如下形式：

 

1.1向量加法：

幾何圖形：

 

用坐標值進行相加（從圖中可以看出，分別是兩向量坐標值的相加）：

 

1.2向量減法：

定義了加法，減法很顯然了，比如上圖中，

 

1.3向量數乘（向量的伸縮，如果a為負，代表反向）：

 

1.4 點積（對應元素相乘相加）

 

結果是一個數！

幾何意義：投影

  

 

為什麼數值計算的結果就代表幾何上的投影呢？

 

利用餘弦定理：

 

2.應用

2.1計算長度和角度

利用點積找角度很簡單，這裡就不舉例了。

 

2.2檢測正交性

當角度為90度時，即點積為0時，兩個向量正交。

舉例：滿足x+2y+3z=0的點組成的圖形是？

答：是一個平面，向量(x,y,z)與向量(1,2,3)正交，因此組成一個過原點的平面，向量(1,2,3)是其法向量。

 

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