多元變量微積分-第二講-點積與叉乘

2021-01-14 劉梳子


上一講介紹了向量和點積，點積在幾何上的意義是投影，可以計算向量長度，兩個向量間的角度，檢測向量的正交性。另外本講還有一個應用，計算面積。

其次，會介紹叉乘的定義和物理意義，點乘和叉乘在各個學科中都可以見到它們的身影。


1.點積的應用

問題：求任給多邊形的面積，多邊形給出了每個定點坐標？

答案：先把所有的多邊形分解成多個三角形，然後只要能求出三角形面積，問題就解決了。

 

 


行列式代表向量組成平行四邊形的面積，因此給出了三角形兩邊邊坐標，便得到了三角形面積。

2.叉積

定義：

 

意義：叉乘結果是一個向量，向量模長是向量A，B組成平行四邊形的面積；向量方向是垂直於向量A,B組成的平面；

 

3.再看三維空間體積

有三個三維向量分別為A,BC，則體積為：

 

在三維空間中，行列式的含義是體積，因此可以通過求行列式求三維空間的體積。

 


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