向量的點積與向量的叉乘應該是高中時解析幾何的知識，很久沒有用，已經回憶不起來了，最近接觸到了，一臉茫然，在此複習下：
1. 向量的點乘
1.1 釋義
向量的點乘,也叫向量的內積、數量積，對兩個向量執行點乘運算，就是對這兩個向量對應位一一相乘之後求和的操作，點乘的結果是一個標量。
1.2 點乘公式
對於向量a(a1, a2,…, an)和向量b(b1, b2,…, bn)
a·b = a1b1+a2b2+…+anbn
要求一維向量a和向量b的行列數相同.
1.3 幾何意義
點乘的幾何意義是可以用來表徵或計算兩個向量之間的夾角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：
a·b = |a||b|cosθ
那麼a，b向量的夾角：
θ=arccos[（a·b ）/（|a||b|） ]
根據這個公式就可以計算向量a和向量b之間的夾角。從而就可以進一步判斷這兩個向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向關係，具體對應關係為：
a·b>0 方向基本相同，夾角在0°到90°之間
a·b=0 正交，相互垂直
a·b<0 方向基本相反，夾角在90°到180°之間
2. 向量叉乘
2.1 釋義
兩個向量的叉乘，又叫向量積、外積、叉積，叉乘的運算結果是一個向量而不是一個標量。a向量與b向量的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵守右手定則。（一個簡單的確定滿足「右手定則」的結果向量的方向的方法是這樣的：若坐標系是滿足右手定則的，當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時，豎起的大拇指指向是c的方向。）
它的長度是a和b張開的平行四邊形的面積.
2.2 叉乘公式
對於向量a(x1,y1,z1) 和向量b(x2, y2, z2):
2.3 幾何意義
向量的兩個要素是模長和方向，讓我們從這兩個角度考慮叉積的幾何意義。 在模長上，叉積的幾何意義是以兩個向量為邊的平行四邊形的面積：
在方向上，叉積垂直於平行四邊形所在的平面：
2.4 運算法則
（1）反交換律：a×b=-b×a
（2）加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。
（3）與標量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。
（4）不滿足結合律，但滿足雅可比恆等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。
（5）兩個非零向量a和b平行，若且唯若a×b=0。
2.5 運用實例
（1） 計算平行六面體的體積
平行六面體，就是六面體的每個面都是平行四邊形，如下圖所示：
（2）判斷點是否在同一平面內
空間內的三點可以確定一個平面，P1，P2，P3是空間中的三個點，另有一點P，如何判斷P是否在平面內？
可以藉助向量通過上一節中平行六面體體積的知識判斷，如下圖所示
這樣形成了三個向量，|P1P3×P1P2| 是這兩個向量圍成的平行四邊形的面積，P1P·|P1P3×P1P2| 表示平行六面體的體積，如果體積是0，那麼P就在平面內
（3）計算三個點圍成的三角形的面積，P1(-1, 0 , 1)，P2(0, 2, 2)，P3(0, -1, 2)