細說NumPy數組的四種乘法,帶你走進向量運算的奇妙世界

當孔乙己說回字有四樣寫法的時候，相信各位都是這樣的表情吧？

但是，如果孔乙己說NumPy數組有四種乘法的時候，各位大約就是這樣的表情了吧？

實際上，NumPy數組乘法遠不止四種。為了在寫作和閱讀時保持清晰的邏輯和清醒的頭腦，本文僅對四種最常見的數組乘法給出詳細說明，並用一道數學題來演示向量點乘和叉乘的用法。

1. 星乘（*）先聲明一下：星乘這個說法，是我自己創造的，因為我實在不知道數組的這種乘法有沒有其他高大上的名字，只好用運算符來表示了。所謂數組星乘，就是數組的對應元素相乘，這也是初學NumPy的同學最早接觸到的數組乘法。

>>> import numpy as np
>>> a = np.array([1,2,3])
>>> b = np.array([4,5,6])
>>> a*b
array([ 4, 10, 18])

>>> a = np.arange(6).reshape((2,3))
>>> b = np.arange(6,12).reshape((2,3))
>>> a
array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5]])
>>> b
array([[ 6,  7,  8],
       [ 9, 10, 11]])
>>> a*b
array([[ 0,  7, 16],
       [27, 40, 55]])

即使兩個數組的shape不一樣，只要滿足特定條件，同樣可以用星號相乘，且滿足交換律。

>>> a = np.arange(6).reshape((2,3))
>>> b = np.array([1,2,3])
>>> a
array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5]])
>>> b
array([1, 2, 3])
>>> a*b
array([[ 0,  2,  6],
       [ 3,  8, 15]])
>>> b*a
array([[ 0,  2,  6],
       [ 3,  8, 15]])

2. 點乘（np.dot）在數學上，向量點乘就是兩個向量的對應位相乘後求和，因此向量點乘得到的是標量。

向量點乘的幾何意義是兩個向量的模之積再乘以二者夾角的餘弦值。這意味著，如果兩個向量互相垂直，則其點積為零。反過來說，兩個不為零的向量的點積等於零，則兩個向量垂直。numpy.dot()函數提供了點乘運算。對於一維數組，NumPy的點乘就是向量點乘，其結果是一個標量。對於多維數組，則需要滿足一定條件才能實現點乘，且其結果不再是標量，而是一個多維數組。比如，NumPy的矩陣相乘，就是二維數組的點乘，參與點乘的第一個數組的列數必須等於第二個數組的行數。

>>> a = np.array([1,0,0])
>>> b = np.array([0,1,0])
>>> np.dot(a,b) # 向量a和向量b相互垂直，其點積為0
0
>>> a = np.arange(6).reshape((2,3))
>>> b = np.arange(6,18).reshape((3,4))
>>> np.dot(a,b) # 滿足點乘條件
array([[ 38,  41,  44,  47],
       [128, 140, 152, 164]])
>>> np.dot(b,a) # 不滿足點乘條件
Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#38>", line 1, in <module>
    np.dot(b,a)
  File "<__array_function__ internals>", line 6, in dot
ValueError: shapes (3,4) and (2,3) not aligned: 4 (dim 1) != 2 (dim 0)

3. 叉乘（np.cross）在百度和知乎上，有很多人說叉積就是外積，也有人提出不同意見。我在這裡僅使用叉乘或叉積等確定無誤的概念，以免誤人子弟。在數學上，二維平面的向量叉乘，其結果是以兩個向量為邊的菱形的面積，三維空間的向量叉乘，其結果仍然是一個向量，且垂直於相乘的兩個向量，也就是參與相乘的兩個向量決定的平面的法向量。nunpy.cross()函數可以實現向量（一維數組）叉乘，也可以實現二維或三維數組的叉乘。

>>> a = np.array([2,0])
>>> b = np.array([2,2])
>>> np.cross(a,b) # 平面向量叉乘，其結果是以兩個向量為邊的菱形的面積
array(4)
>>> a = np.array([1,0,0])
>>> b = np.array([0,1,0])
>>> np.cross(a,b) # x軸叉乘y軸，得到z軸
array([0, 0, 1])
>>> np.cross(b,a) # 叉乘交換順序，得到反向的法向量
array([ 0,  0, -1])

4. 外乘（np.outer）這裡的外乘，類似於星乘，並不是通用的概念，也是我自己編造的一個說法，來源於numpy.outer()函數。從字面看，outer()函數更像是求外積，但從實際效果看，更像是笛卡爾直積，因此我這裡用了「外乘」而不是「外積」。那麼，outer()函數究竟能做什麼呢？

>>> a = np.array([1,2,3])
>>> b = np.array([4,5,6,7])
>>> np.outer(a,b)
array([[ 4,  5,  6,  7],
       [ 8, 10, 12, 14],
       [12, 15, 18, 21]])

數組A外乘數組B，返回一個二維數組，這個二維數組的第i行是數組A的第i個元素星乘數組B。5. 判斷兩條直線是否相交假設abcd是歐氏空間中不重合的四個點，如何判斷過點ab的直線和過點cd的直線是否相交？如果使用空間解析幾何的方式來解決問題，對於一般程式設計師來說將是一個難題。不過，如果你熟悉NumPy，理解點積(np.dot)和叉積(np.cross)的話，解決這個問題就變得非常容易了。具體思路是這樣的：

>>> def is_orthogonal(a, b, c, d):
        ab = np.array(b) - np.array(a)
        cd = np.array(d) - np.array(c)
        ac = np.array(c) - np.array(a)
        orth = np.cross(ab, cd)
        return orth.any() and np.dot(orth, ac) == 0