向量的發現在18世紀以前，有兩個主要來源：物理中「平行四邊形法則」，和代數中「複數」的幾何表示。
在18世紀之前，「向量」只在物理學中隱隱的以「平行四邊形法則」的形式出現，這相當於是向量的加法。韋塞爾的工作，不但說明複數可以在複平面上用點和有向線段表示，而且建立在「有向線段」上的加法和乘法使得「向量」第一次正式的以純數學的方式進入我們的視野。從此，平面向量成為解決代數問題的有力工具。
數學家們希望將「向量」的方法運用到物理領域，但是發現並不是這麼容易，建立在複數基礎上的「向量」不能解決三元的物理問題。數學家們兵分兩路，一部分從物理應用出發建立了高維向量系統，而另一部分從數學的角度尋求突破，發現了「四元數」。
二、格拉斯曼的向量系統
1840年，格拉斯曼（Grassmann,1779-1852）完成了論文《潮的理論》的寫作，這篇論文初次建立了向量基礎上的空間分析系統。文章給出了向量的一些基本性質：如，AB=-BA,AB+BC=AC,A(B+C)=AB+AC，a·b=|a|·|b|cos<a,b>。論文也討論了向量的偏微分求法。
這樣一些關於向量的方法被格拉斯曼用來解決「潮的理論」問題，並取得了成功。接下來的1844年，格拉斯曼趁熱打鐵，發表了《擴張論》。
「我很快意識到自己已經邂逅了一個新的科學領域,而幾何只不過是其中的一個特殊應用。」（《擴張論》）
格拉斯曼把我們現在認為的向量作為「擴張量」的一部分，使向量在三元空間也不受限制。在承認向量是有向線段的基礎上，他提出了「向量的長度和方向是固定的，而位置卻可以隨意改變」的思想，討論了向量的加法和減法，並創造性的討論了10多種向量乘法，其中就包括了常用的向量的外積和內積。以三元向量為例，
兩個向量的「內積」得到的是一個數（而非向量），而「外積」的結果仍然是一個向量，這分別與我們中學課本中的「數量積」和「叉乘」是等價的。
格拉斯曼的擴張論思想太過超前、抽象和一般化，以至於當時頂尖的數學家也不能（或很難）理解，再加上他小小的名氣並沒有促使更多人去理解他的思想，這些原因都直接導致了他的思想在19世紀並未被傳播開來。
而另一位「天才數學家」哈密頓則要幸運得多，他的「四元數」思想，儘管發現時並未在物理上取得重要應用，而且也沒有「擴張論」這樣的接近向量分析。但是因為「光環效應」，以及文章的易理解性，「四元數」立刻深受數學家們的熱愛，並得到了廣泛傳播，隨後在泰特、麥克斯韋等大家的努力下，「四元數」更是成為了力學、電磁學研究必不可少的工具，這都為向量分析的最終成型奠定了堅實基礎。
三、哈密頓的四元數
哈密頓(Hamilton， 1805～1865) 是英國著名的數學家、物理學家，是英國歷史上繼牛頓公爵以後最偉大的數學家，他的能力與生俱來：
13歲，已熟練掌握多門語言17歲，對大師拉普拉斯的《天體力學》了如指掌，並指出書中一個錯誤.18歲，以第一名的成績考入「三一學院」22歲，被任命為敦辛克天文臺的皇家天文研究員和三一學院的天文學教授
此後的簡歷就不用多說了，22歲就混到了常人一輩子也不敢想的位置，只能望其項背了。
哈密頓發現「四元數」是受到韋塞爾關於複數的幾何研究的啟發。前文說到，複數可以轉化為二元的向量，或是在複平面直觀的表示。哈密頓則引入有序偶(a,b)，來對應複數a+b√-1，使得複數脫離幾何而成為代數的一部分，通過定義有序偶(a,b)來作相關運算，而不必藉助幾何。如複數的加法寫成：(a,b)+（c,d）=(a+c,b+d).
一方面，這樣定義的複數在二元運用上功能強大，但是推廣複數到三元就遇到了前所未有的瓶頸。另一方面，在實際應用中，給出一個物理量（如，力），是需要有三個方向來確定的，當時的複數只有兩維(a,b)，無法實現。哈密頓希望從純代數的角度來將複數進行推廣，再運用到物理學上。
剛開始哈密頓計劃發明一種類似(a,b)的「三元數」，作為「複數」在三元上的推廣。這件看似簡單的事情，事後被證明是不可能的。我們知道，從實數推廣到複數，數系的很多性質和「邏輯」都是保持不變的。如「+、-、×、÷」的運算，及交換律、分配律等。
1、乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c2、乘法結合律:(a×b)×c=a×(b×c)3、乘法交換律:a×b=b×a4、加法結合律:(a+b)+c=a+(b+c)
但是從二元的「複數」變化到「三元」時，很多數的性質都不能滿足了，通過進一步的研究，哈密頓轉而研究「四元數」，並取得了部分成功。
哈密頓引入了四元數（a,b,c,d）=a+bi+cj+dk並定義了相關運算，式子中a為實數部分，bi+cj+dk為向量部分。定義加法：（a,b,c,d）+（x,y,z,r）=(a+x,b+y,c+z,d+r).乘法則建立在下列運算的基礎上：jk=i,kj=-i,ki=j,ik=-j,ij=k,ji=-k,i^2=j^2=k^2=-1.
由此得到的「乘法」運算，和二元運算的時候產生了衝突，即「四元數」不滿足「乘法交換律」，我們看一個簡單的乘法運算：
a=1+2i+3j+k,b=1+2i+j+k,則，ab=-7+6i+4j-2k,ba=-7+2i+4j+6k ,而ab≠ba.
但是哈密頓並不在意，因為其他的數的大部分法則,」四元數」都是滿足的。
哈密頓的「四元數」一經發表就受到了數學家們的強烈追捧，儘管當時還沒有任何的物理應用，但是以他「天才」的名氣而使得「四元數」迅速傳播，贏得了像泰特和麥克斯韋這樣的超級粉絲。泰特在物理上找到了「四元數」的許多應用，而麥克斯韋更是在「四元數」的基礎上完成了電磁學的方程簡化。
到了19世紀末期，兩位數學家：吉布斯(J·W·Gibbs，1839-1903)和亥維賽（Heaviside,1850-1925），最終在「四元數」的基礎上（只考慮向量部分）提出了完整的、系統的「向量系統」。
四、綜述
縱觀向量的發展史，我們發現它是物理與代數相互交織的結果。首先，是源於古希臘時期的向量加法（力學中的平行四邊形法則），然後18世紀隨著複數（二元）的幾何化而以「有向線段」的存在，得到較大的發展。接著，數學家們從兩個角度對二維向量進行推廣，一方面，從物理應用角度，格雷斯曼將向量推廣到高維空間，但是因其高度抽象性而未及時受到重視。另一方面，哈密頓從純數學的角度將複數推廣到「四元數」，「四元數」在物理上的成功及麥克斯韋等大家推崇讓四元數得以重視和發展，並最終導致了20世紀向量分析的產生。一切都不是偶然，但是偶然會讓必然的時間提前或延後。向為此做出努力的數學家們致敬。
參考文獻：
1. 牛頓.自然哲學的數學原理,曾瓊瑤等譯.江蘇人民出版社.2014.
2. 克萊因.古今數學思想.萬韋勳等譯.上海科技出版社.2012.
3. 孫慶華.向量理論歷史研究.2006