【平面的格林(Green)定理】圖解高等數學-下 24

2021-02-26 遇見數學
13.4 平面的格林(Green)定理

如何計算保守場的流量積分, 需要先對場建立勢函數, 求出路徑端點的值. 當向量場不是保守場時候, 如何計算穿過平面閉曲線的流量和通量積分呢. 可用格林定理, 將線積分變成二重積分.

散度(Divergence)

向量場的散度, 也稱為在場中某一點的通量密度(flux density). 設 F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j 為一平面流體的速度場, 則在點 (x,y) 處的散度(Divergence)或通量密度為:

觀察下圖動畫, 如果 Source 處散度為正, 則流體從源處流出, 如果為負, 則流進(或壓縮)到該點處.

在一點的環量密度: 旋度的 k-分量

在平面區域旋度(環量密度, Circulation Density)正向為繞 z 軸逆時針旋轉, 可視為流體繞某一點旋轉的速率. 在旋轉方向為逆時針則旋度的 k-分量為正, 反之為負. 也就相當在度量一個"渦輪"以什麼方向旋轉以及旋轉有多快, 可以觀察下面動畫:

觀察下面兩個動圖, 在向量場 F(x,y)=(Cos(y)-1. Sin(x)^3, -0.1 y-1. Sin(x)) 中取 9 個不同點處的旋度和散度的情況:

格林定理的兩種形式

格林定理揭示了曲線所圍的區域與邊界上線積分的關係.

Green 定理(通量 - 散度形式或法向形式)

Green 定理(環量 - 旋度形式或切向形式)

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