全面形象化的解釋散度和通量的物理意義

2020-12-04 電子通信和數學

散度,通量是高等數學和大學物理,電磁學的重要內容,難以理解,本篇用通俗的語言來解釋它的物理意義。散度,高斯定理非常重要,要學好

一個太陽發出耀眼的光芒

太陽在向外輻射能量,我們用向量A來表示能量的方向和大小

d

在太陽表面用一條封閉的曲線圈起來,那麼通過該曲線的能量就是所有向量A的疊加

但是A的方向不一定在曲線的法線方向。它可以是任意的方向,如下圖所示,一束光射向房屋

如果屋頂有天窗,則部分光線會射向屋內

如果窗戶在右側斜面上,則只會有更少的光線射向屋內,如果窗戶在左右兩側,則沒有光線射向屋內

所以只有光線與天窗垂直時,才有最充足的陽光,如下圖我們看成一根光線,射向表面

那麼可以分解為水平與垂直的兩個向量

那麼只有與表面垂直的光線才能射向屋內

所以就有了如下圖和結論

通量就是求把所有垂直於表面的向量箭頭疊加起來

封閉曲線二維情況下的通量:根據微積分思想

這裡用F來表示向量,n是單位法向量,ds是封閉曲線上的微元線段。如下類似於線積分,很容易理解

如果是封閉曲面,三維情況下的通量:

通過封閉曲面的能量就是(數學上稱為通量)

如果要求散度,我們把之前的封閉曲面不斷壓縮到很小,封閉曲面縮小到極限為0,可以看成一個點

那麼該點的輻射強度就是:Ω時封閉曲面,∑是圍成的區域,V是Ω的體積

這就是散度的的來源

最終得到如下二維封閉曲線下的通量:ds是曲線微元

三維封閉曲面下的通量,即著名的高斯定理:ds是曲面面積微元

要理解,必須理解線積分:向量場的基礎,上述只是對散度和通量的基本敘述,其應用遠不止於此。

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