一張圖看懂梯度、散度、旋度、Jacobian、Hessian和Laplacian

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圖中的細實線箭頭表示了四種一階微分運算，包括梯度、散度、旋度和 Jacobian。每條箭頭的起點表示了相應運算的自變量的類型，終點表示了相應運算的因變量的類型，例如梯度運算是作用在標量上的，結果是向量。圖中的「向量」默認為列向量。

這四種一階微分運算可以統一用算符 

與向量 

圖中的粗實線箭頭表示了兩種二階微分運算，它們可以由兩個一階微分運算組合而成，即：

圖中的虛線箭頭表示了一種不涉及微分的運算（跡）。在微分運算之後接上「跡」運算，可能得到另一種微分運算，如：

二、入迷

圖中的四種一階微分運算兩兩搭配，一共可以得到 7 種二階微分運算。第一節的圖中畫出了兩種，本節的圖中畫出了另外五種（淺藍色與灰色）。這五種二階微分運算並沒有特別的名字，但其中有兩種是恆等於 0 的：

其中，「梯度無旋」可以用下面的圖形象說明（圖片來自@得分的）：

如果梯度有旋會怎麼樣？

三、入魔

Laplacian 是一個作用於標量的二階微分運算，其結果也是標量。但我們也可以把它作用於一個向量的每一個元素，得到一個向量；這種運算稱為向量 Laplacian。

Laplacian 運算作用於標量 

向量 Laplacian 的結果，恰好等於「散度的梯度」與「旋度的旋度」之差。為了體現出這種關係，我把「從向量到向量」的三種二階微分運算改用橙紅色箭頭表示。

四、入土

既然引入了「逐行散度」這個一階微分運算，那就索性把它能組合出來的二階微分運算也全都放到圖裡去吧！這樣就得到了一個完美對稱的圖，它包含了 11 種二階微分運算，其中：

有兩種比較常見：Laplacian 和 Hessian；有三種滿足減法關係：向量 Laplacian = 散度的梯度 - 旋度的旋度；

其中任何一種微分運算後面接上「跡」，都可以得到另一種同階微分運算：

旋度的 Jacobian 的跡就是旋度的散度，恆等於 0；矩陣逐行散度的 Jacobian 的跡，就是它的逐行散度的散度。

但需要注意只能在運算之後接上「跡」，在運算之前接「跡」是不行的，比如矩陣的跡的梯度不等於它的逐行散度。

如果有讀者知道圖中幾種沒有名字的運算叫什麼名字、有什麼用途，或者在圖中內容之外還有什麼值得包括進來的微分運算，歡迎補充。