二項式定理

2020-12-05 小朱與數學

我們通過基礎的計數原理可以得到排列與組合的計算公式，它們的應用很廣泛。其中二項式定理就是組合公式的一個簡單應用。

二項式是指兩個變量和的正整數次方的展開式，n次展開式的展開項的種類是n+1種，因為展開之後的每項的次數之和都是n次，一共有n+1種兩個變量指數次數的組合。

假設求取（a+b）的n次方的展開式，那麼其中a的指數為m的那一項的係數是多少呢？它的係數其實就是這一項一共出現的次數，也就是說我們從a和b中每次隨機抽取一個、連續抽取n次，其中a出現m次的可能的結果數量。我們進一步可以看作n個變量其中m個是a、其他是b，這就很明顯符合組合的定義，所以a指數為m的項為

因此二項式的展開式為

我們令a=b=1，那麼可得

這也是一個很有趣的公式。

本文由小朱與數學原創，歡迎關注，帶你一起長知識！

相關焦點

  • 牛頓二項式定理
    牛頓二項式定理:（Binomial theorem）二項式定理，又稱牛頓二項式定理數學小怪獸：學習二項式定理有什麼用？二項式定理，在組合理論、開高次方、高階等差數列求和，以及差分法中有廣泛的應用 。值得一提的是，二項式定理與楊輝三角形是一對天然的數形趣遇。如果說二項式定理屬於計算數學範疇，那麼楊輝三角可以說是把「數形結合」帶進了計算數學。二項式展開式的係數問題，本質上是組合計數問題。
  • 二項式定理的通俗解釋
    在中學數學裡，我們會經常遇到一個叫做「二項式定理（Binomial Theorem）」的知識。
  • 二項式定理知識點的匯總以及拓展
    二項式定理的公式的由來二項式定理是由（a+b）^2，（a+b）^3，（a+b）^4等展開式歸納猜想而來，並由排列組合的方法證明了這一歸納。二項式定理的性質二項式定理的係數具有對稱性。當n為偶數時，中間項是第n/2+1項最大；當n為奇數時，中間項為兩項，即為第（n+1）/2項和第（n+1）/2+1項的係數最大；Cn+Cn+Cn+…+Cn=2，這也是（1+1）^2用二項式展開所得，同時偶次冪係數相加等於奇次冪係數相加=2^（n-1）；二項式定理係數項的增減性
  • 二項式定理」到底有多重要?
    二項式定理的定義可以這樣簡單的描述：將「兩數之和」的「任意實數次冪」展開成「和」的形式。這個重要的定理是牛頓於1664年在前人的研究成果上創立的。從其雛形的提出到被正式創立，前後歷經了1500多年。無數的數學家為此付出了艱辛的努力。向那些為人類文明作出卓越貢獻的偉大數學家們致敬！
  • 高中數學:二項式定理的常見題型總結
    【相關閱讀】【重要知識點】（1）二項式定理即為公式：（2）二項展開式的通項公式：展開式中的第r+1項為:本文將給同學們比較詳細地介紹二項式定理的常見題型和解題方法
  • 高中二項式定理在新題型中的運用
    題型我們經常碰到的題都是運用二項式定理來求展開式的第幾項或者是第幾項的係數，只需要根據二項展開式的通項公式來求解即可。所以這道題，我們要先將(x+a)^9變形，然後再利用二項式定理求解即可。具體做法第一步，將(x+a)^9變形。(x+a)^9=(x+1+a-1)^9.
  • 2018高考數學二項式定理的題型總結
    同學們好，二項式定理是理科生的專利，當然理科生需要總結歸納二項式定理有哪些題型和變形。今天小新老師就將這些知識總結歸納出來，以供參考借鑑。題型一、通項係數問題 這類問題一般是求解常數項是多少？或者某一項的係數是多少？
  • 利用楊輝三角形來解釋二項式定理
    我對二項式定理(Binomial Theorem)的熱愛無以言表，它看上去有很多數學符號，但本質上是用組合的方法來解決一個長得可怕的代數問題。尤其在你邂逅美妙的楊輝三角時，就會更感受到的數學不可思議之處。但當第一次遇到它的時候，二形式定理中這些並不熟悉的數學符號可能會讓你望而生畏。
  • 多項式定理:歐拉對牛頓二項式定理的擴展及延伸
    前面文章探討了牛頓發現二項式的歷程，體現了牛頓高超的思維技巧和卓越的數學才能，牛頓運用自己發明的二項式和微積分得到了許多函數的無窮級數，著名的三角函數級數第一次出現在歐洲人的草稿中，這個人指的就是牛頓。
  • 數學的鑰匙:二項式定理,從初等數學通往高等數學領域
    數學的鑰匙：二項式定理，從初等數學通往高等數學領域二項式定理就是（a+b)^n,其展開有各項，即a^m*b^(n-m),各有其係數，稱為二項式係數。二項式定理這個公式有加法，和乘法。牛頓發現二項式係數和組合有關係，這個係數就是對a^m*b^(n-m)來說就是C(n,m)。
  • 高考數學衝刺,二項式定理的應用講解分析
    考點分析;二項式係數的性質．題幹分析：利用二項式定理展開即可得出．典型例題分析4：考點分析：二項式定理；微積分基本定理．題幹分析：由條件利用二項式展開式的通項公式求得a的值，再利用積分的運算性質、法則，求得要求式子的值．
  • 二項式定理,這篇推送最全面,沒有之一!
    二項式定理，其實是一個很好理解的小概念。只是不少同學對其原理的認識和理解不足，且訓練頻率較小，導致在考試中遇到時反而措手不及。但三項甚至更多項的展開，不正體現了二項式定理的精髓？這篇推送，其實想寫好長時間了。只是一直沒有一個整段的時間，所以就一直拖到了現在。但希望對孩子們有用。
  • 牛頓和歐拉跨時空的合作：從廣義二項式定理談起
    這些貢獻是大眾熟知的，在很多的科學文獻以及課本中都能看到這些內容的介紹， 其實在那三年裡牛頓在代數學上也做出了一個很傑出的成果，這個成果就是：廣義二項式定理。如果m與n為正整數，那麼根據帕斯卡的二項式定理可以將f（m）與f（n）寫成如下圖的形式：帕斯卡二項式定理應用
  • 高中數學二項式定理及其應用1
    一、二項式定理 二、二項展開式的通項、係數、二項式係數，尤其要注意二項展開式中係數與二項式係數的區別。三、（1+x)^n的展開式 四、題型：1、求二項展開式的常數項 2、求二項展開式的有理項 3、係數問題：求二項展開式中含x^k項的係數；求二項展開式中第幾項的係數；求二項展開式中含x^k項或第幾項的二項式係數；求二項展開式中兩項係數之比的問題；求二項展開式中係數之和的問題；二項式係數之和問題，和為2^n；4、構造「母函數」證明恆等式問題。
  • 在瘟疫的3年裡，牛頓領悟到了廣義二項式定理的規律
    這些貢獻是大眾熟知的，在很多的科學文獻以及課本中都能看到這些內容的介紹， 其實在那三年裡牛頓在代數學上也做出了一個很傑出的成果，這個成果就是：廣義二項式定理。這個定理的內容如下圖所示：牛頓廣義二項式定理
  • 利用二項式定理解決三項式中求特定項或係數問題
    方法：在與二項式定理有關的問題中，主要表現為一項式和三項式轉化為二項式來求解；若干個二項式積的某項係數問題轉化為乘法分配律問題。配方法點撥：利用轉化思想，把三項式轉化為二項式來解決，本例採用的是配方法，解題時注意觀察式子的特徵進行配方。
  • 中職數學第十部分《排列組合二項式定理》知識點歸納及真題彙編
    排列組合及二項式定理內容在中職數學的拓展模塊，查看山西省近些年的對口升學考試真題，一般會有一道填空題，考查二項式定理知識，另有一道解答題，常常和概率知識在同一題中進行綜合考查。考試內容：(1)分類計數原理與分步計數原理，(2)排列、組合的定義及計算公式，(3)排列和組合的知識解決一些簡單問題，(4)組合數性質，(5)二項式定理。
  • 衝刺19年高考數學,典型例題分析220:二項式定理的應用
    典型例題分析1：二項式（1/x﹣x）9的展開式中x3的係數是（　　）A．84B．﹣84C．126D．﹣126考點分析：二項式係數的性質．題幹分析：根據二項式展開式的通項公式，令x的指數等於3，即可求出展開式中x3的係數．典型例題分析2：考點分析：二項式係數的性質．題幹分析：求定積分得到a值，代入（1﹣x）3（1﹣a/x）3，展開兩數差的立方公式後即可求得答案．
  • 由牛頓二項式定理推導出任意對數函數的無窮級數
    前一篇文章我們討論了指數函數的來源，充分展現了牛頓二項式定理的無窮魅力，本篇我們繼續延伸二項式定理的用處，用它得到對數函數的無窮級數。但需參考前一篇來更好的理解本篇。於是就可以得到，其中ω是無窮大，i是無窮小，所以iω就是有限數於是以a為底取對數得到前一篇已經說明i取的越大，（1+Kω）^i就會遠遠大於1，所以（1+Kω）^i可以成為大於1的任何數，所以可以令其等於1+x其中i是無窮大，ω是無窮小，所以iω就是有限數根據上式就可以得到所以得到這裡的i是無窮大，根據二項式定理展開得到
  • 二項式的有理項
    牛頓二項式定理:（Binomial theorem）>二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓於1664年-1665年間提出。該定理給出：兩個數之和的整數次冪諸如展開為類似項之和的恆等式。二項式定理可以推廣到任意實數次冪，即廣義二項式定理。數學小怪獸：除了常數項，二項式還有其他考點嗎？利用二項式定理，我們得到了展開式。