二項式定理,這篇推送最全面,沒有之一!

二項式定理，其實是一個很好理解的小概念。

只是不少同學對其原理的認識和理解不足，且訓練頻率較小，導致在考試中遇到時反而措手不及。

我就多次見過模考中的三項展開式，有些孩子怎麼也理解不了的情形。

但三項甚至更多項的展開，不正體現了二項式定理的精髓？

這篇推送，其實想寫好長時間了。只是一直沒有一個整段的時間，所以就一直拖到了現在。

但希望對孩子們有用。

一、定理內容

二、基本概念

①二項式展開式：

等式右邊的多項式叫作(a+b)n的二項展開式

②二項式係數：

展開式中各項的係數中的

③項數：

展開式第r+1項，是關於a,b的齊次多項式.

④通項：

展開式的第r+1項，記作

三、幾個提醒

①項數：

展開式共有n+1項.

②順序：

注意正確選擇a與b，其順序不能更改，

即：(a+b)n和(b+a)n是不同的.

③指數：

a的指數從n到0, 降冪排列；

b的指數從0到n,升冪排列。

各項中a，b的指數之和始終為n.

④係數：

正確區分二項式係數與項的係數：

二項式係數指各項前面的組合數；

項的係數指各項中除去變量的部分（含二項式係數）。

⑤通項：

通項是指展開式的第r+1項.

四、常用結論

由此可得貝努力不等式。當x>-1時，有：

n≥1時，(1+x)n≥1+nx;

0≤n≤1時，(1+x)n≤1+nx.

（貝努力不等式常用於函數不等式證明中的放縮）

五、幾個性質

①二項式係數對稱性：

展開式中，與首末兩項等距的任意兩項二項式係數相等。

②二項式係數最大值：

展開式的二項式係數中，最中間那一項（或最中間兩項）的二項式係數最大。即：

③二項式係數和：

二項展開式中，所有二項式係數和等於，即：

奇數項二項式係數和等於偶數項二項式係數和，即：

（註：凡係數和問題均用賦值法處理）

④楊輝三角中的二項式係數：

說明：凡二項展開式中指定項的問題，均直接使用通項公式處理.

說明：對於位置指定的展開項問題，要注意用原式，底數中項的順序不得隨意調整。

說明：積的展開式問題，一般分別計算兩個因式的通項。

說明：係數和的問題，一般用賦值法，將式中的字母均賦值為1即可。

此種思路同樣適用於底數為多項式的展開式。

說明：分奇偶項求係數和時，一般分別對變量賦值為1和-1，得方程組處理。

說明：係數最大或最小問題，一般可先設出最值項的項數，再利用不等式的恆成立性，求得係數最大或最小項。

也可將二項式看成數列，利用數列單調性的思路確定其單調性後處理。

五、多項展開式

說明：對於底數為多項式的展開式問題，如果能將底數變形為二項式，則直接用二項式定理；如果底數不能變形，可以採用上述三種方式處理。

其中解法三利用了多項式的乘法原理，更側重於對二項式定理原理的理解和認識，應引起重視。

七、近似計算

說明：在中學階段，近似計算的處理，可以考慮二分法和二項式定理兩種途徑。

八、證明不等式

說明：用二項式定理證明不等式，主要是利用其放縮的特徵。

凡含有n次冪的不等式證明，可適當考慮此種思路。

「素人素言」是由安徽省阜陽市紅旗中學彭西東老師建立的個人公眾號，該公眾號旨在用最樸素、簡潔的語言講述數學，以適用性為目標，介紹高考備考和教學經驗。