天才的推導：你知道牛頓是如何推導出二項式定理的嗎？

2020-08-10 電子通信和數學領域

牛頓是如何推導二項式展開的

牛頓根據英國數學家約翰·沃利斯等前人的工作，知道了如何對整數指數的二項式進行展開:

圖一

如下圖直觀的顯示了這些係數有趣的變化過程

圖二

牛頓的目標是擴展圖一的展開式，使其包含非整數的指數m。接下來，我們可以將係數排列在一個表中，其中空行用於對非整數值m的展開式:

圖三

牛頓想要填充這個表中的空單元格。他的推理如下。

對於指數m是整數的情況下：第一列和第二列不難看出。第一列只包含1，第二列m雖線性增加。

圖四

現在我們考慮第三列。首先，我們注意到它是一個三角形數(如下圖所示)，我們可以通過簡單的公式得到:

圖五

三角數樣式

圖六

我們還注意到第m行總是包含(m-1)個角形數。更具體地說：

m=2時：該行包含第一個三角形數

m=3時：該行包含第二個三角形數

m=5時，該行包含第四個三角形數

將(m-1)代入上式得到:

圖七

然後我們可以完成第列:得到-1/8，3/8，15/8，35/8，.........

圖八

現在，注意，對於前三列，值多項式地增加。

第一列是常數(等於1)

第二列線性增長(等於多項式的次數m)

第三列按照公式7計算得到（二次多項式形式增長）

根據這個模式，牛頓推斷第四列應該作為三次多項式增加。由於這個未知多項式在m = 0,1和2時消失，所以它必須有如下形式:

其中常數a可以通過表的第七行得到，根據第七行p(3)=1。因此:

然後我們按照上述原理，填充第四列空的單元格:

牛頓推導的過程現在很清楚了。第五列和第六列對m的依賴關係可以很快得到：

最後我們可以填滿整個表:

所以牛頓就得到了一般的二項式定理

上述公式中，其中


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