天才的發現:你知道牛頓是如何推導出π的精確值的嗎?

2020-12-05 電子通信和數學

艾薩克·牛頓(1642-1727)在1666年將圓周率的精確值計算到了15位數以後，本篇我們就來欣賞牛頓是如何計算圓周率π的。

牛頓計算微積分或曲線下的面積時，都是運用它自創的數學知識，但主要運用的就是二項式定理，所以說二項式定理是發明微積分的基礎

牛頓在他的名著《流數術》中運用二項式定理首次導出了如下曲線下的面積，而且將其作為強有力的數學工具

牛頓首先作了一個單位圓，圓心O點坐標是(1/2,0)，我們容易得到y>0時圓的方程，並用二項式定理將該方程展開

那麼這個半圓的面積就是：牛頓將上式積分得到

接著作BD垂直AC，假設B點坐標是(1/4,0) 那麼X=1/4時，我們就得到曲面ABD的面積

因為X=1/4，所以BC=1/4，根據勾股定理就得到DB的長度，進一步得到DBC的面積

我們很容易得出∠BCD=60度，所以扇形ACD的面積就是π/24,由此就得到了ABD所圍成的面積

這和上述積分得到的結論是相等的，所以牛頓最終得到了圓周率π的精確值

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    如果你將一根繩子一端固定住，另一端綁上鵝毛筆或木炭，那麼你就可以畫出一個近乎完美的圓。如果用一根更長的繩子（至少得是之前那根繩子的2π倍）和一把尺子，你就可以測量出所畫的圓的周長。只要你仔細些，你就可以發現，很顯然π≠3。只要測量誤差低於4%，你就可以看出其中的差距。古巴比倫人編寫了《漢謨拉比法典》，建造了許多令人驚嘆的建築，由此可見，他們有可能很早就有了以釐米為測量刻度的米尺。
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