今天是圓周率日:古人是怎麼算出了3.14的?

（原標題：3.14：圓周率日(Pi Day)）

來源：中國數學會（微信ID：CMS-1935）

π 是數學中最著名的數。 忘記自然界中所有其他常數也不會忘記它， π 總是出現在名單中的第一個位置。如果數字也有奧斯卡獎， 那麼π  肯定每年都會得獎。

π 或 pi， 是圓周的周長和它的直徑的比值。它的值，也就是這兩個長度之間的比值，不取決於圓周的大小。無論圓周是大是小，π 的值都是恆定不變的。 π 產生於圓周中，但是在數學中，它卻無處不在，甚至涉及那些和圓周毫不相關的地方。

錫拉庫扎的阿基米德

人們在古時候就對圓周周長和直徑的比值產生了濃厚的興趣，在公元前2000年左右，巴比倫人發現了周長大約是直徑的三倍。

關於 π 的數學理論，真正開始於錫拉庫扎的阿基米德，大約在公元前225年左右，阿基米德就是在那裡完成他偉大的創舉的。數學家們喜歡評價同行的等級，他們認為阿基米德可以與卡爾·弗裡德裡希·高斯（數學王子）和艾薩克牛頓齊名，不管這種評價有何價值，阿基米德應該位列任何數學名人堂中是毋庸置疑的，但是他並沒有被完全處於數學的象牙塔裡，他對於天文學，數學物理學也都有很高的造詣，他還設計了戰爭武器，例如彈射器，槓桿，以及一種火鏡，這些都是為了不讓羅馬人進犯. 但是據說他身上具有教授們所常有的心不在焉的特質，否則當他發現了流體靜力學中的浮力定律時是什麼使得他從浴盆裡跳出來，連衣服都不穿，就衝到大街上大喊「Eureka」（拉丁語「我發現了」）？但是我們找不到關於他如何慶祝 π 的發現的記錄。

當把 π 定義為周長和直徑的比值後，如何進一步計算圓的面積呢？通過推導，可以得到半徑為 r 的圓的面積為 πr^2, 或許這一點比周長 / 直徑給出的定義更加有名.  π 對周長和面積的雙重職責是非常重要的.

這個結論是如何證明的呢？周長可以被切分為很多狹長的三角形底邊邊長為 b，高度近視為半徑 r. 它們在原內部形成了一個多邊形，圓的面積可以近似為這個多邊形的面積，讓我們首先將圓劃分成1000個三角形. 推導過程都將是近似操作. 我們可以將每對相鄰的三角形，拼成一個矩形(近似地), 它的面積為 b x r. 那麼整個多邊形的面積將是500 x b x r. 由於500 x b 約等於半圓的周長，它的長度是 π r, 在整個多邊形的面積為，π r x r = πr^2. 劃分的三角形越多，近似值會越接近實際值. 最後在極限上我們可以得出圓的面積為 πr^2.

阿基米德估算出 π 的值處在223/71和220/70之間. 正是因為阿基米德，我們有了大家所熟知的 π 的近似值22/7. 關於設計 π 這個符號的榮譽要歸功於很少人知道的威廉·瓊斯, 他是一個威爾斯數學家, 在18世紀成了倫敦皇家學會的副主席. 物理學家和數學家歐拉在圓周率的使用中將 π推廣開來.

π 的精確數值

我們永遠無法知道派的精確數值，因為它是一個無理數，這一點被約翰·蘭伯特於1768年證明. π 的小數展開是無窮無盡的，並且沒有可預測的模式，它的前20位是3.141592653879323846... 中國數學家所採用的 √10的數值為: 3.16227766016837933199, 這個值在公元500年左右被婆羅摩笈所採用. 事實上，這個只比3這個粗略近似值要好一些，它和派相比，它和 π 相比到小數點後第二位才不相同，

π 可以從一個數列計算. 一個著名的數列展開式

但是這個數列需要一個很痛苦漫長的過程，才能收斂到 π 計算是幾乎不可能的，歐拉找到了一個可以收斂到 π 的重要序列:

自學成才的天才拉馬努金想出一個漂亮的派的近似公式. 這個式子裡僅涉及2的平方根:

數學家對 π 是如此的著迷, 當蘭伯特證明了它不可能是分數的時候，德國數學家林德曼在1882年解決了一個關於 π 的最重要問題. 他證明了 π 是 "超越"的, 既 π 不可能是代數方程(一個僅含x的指數項的方程)的解. 通過解決這個千古之謎，林德曼給出了"變圓為方"這一問題的結論，此問題為: 給定一個圓，如何利用一對圓規和直尺，構造一個和它面積一樣的正方形. 林德曼最後證明了，這是不可能做到的. 如今化圓為方，就代表辦不到的事情.

對於 π 的精確計算快速發展著. 1853年, 威廉·尚可斯宣稱已經將它精確到了607位(實際上只今精確到了527位). 在當代，計算機給予了人們精確到更多位的新的動力，1949年，π 被精確到了小數點後2037位. 這是由 ENIAC 計算機經過了70個小時的計算完成的，到了2002年 π 已經精確到了令人咋舌的124100000000位, 而且這個數還在繼續增長. 如果我們準備寫出 π 的精確值，尚克斯的計算結果僅僅需要14米，而2002年得到的這個結果，足可以繞地球大約62圈.

人們提出並解答了關於 π 的各種問題，π 的這些數字是完全隨機的嗎？有沒有可能預測它的展開式裡有一段序列? 例如，有沒有可能在展開式中出現 0123456789這樣的序列，在20世紀50年代，人們認為這個問題是不可知的，人們在 π 上已知2000位展開式中沒有找到這樣的序列. 荷蘭數學界的領軍人物魯易茲·布勞威爾認為這個問題毫無意義，因為他相信這個序列是不可能出現的，事實上，這個序列在1997年被找到了，它開始於第 17387594880 位, 或者按照上面那個比喻，它所在的位置差 5000 公裡就繞完地球整一圈了. 你可以在僅僅一千公裡後就可以發現 10 個連續的 6, 卻要再繞地球一圈後再走6000公裡才能找到 10 個連續的 7.

π 的重要性

知道 π 的這麼多位有什麼用，畢竟大多數計算機僅僅需要小數點後幾位就夠了，對於絕大多數實際應用來說，或許十位以內已經足夠了，而阿基米德的近似值 22/7 也可能對大多數情況都已經足夠好了. 但是, 對於 π 的廣泛展開絕不是僅僅為了娛樂. 他們除了能使那些自稱為"π 的朋友"的數學家們神魂顛倒外，還可以用於測試計算機性能極限.

或許關於 π 最離奇的一段故事是，印第安納州立法院曾經試圖通過一條議案，以固定它的數值. 這個故事發生在19世紀末，一個名叫古德溫的醫學博士，提出一條議案，希望將 π 變成"易理解的". 而這條議案面臨的實際問題是: 提議者自己卻沒有能力知道她想要固定的值是多少. 值得慶幸的是, 在議案通過之前，他們意識到了對派進行立法是一件多麼荒唐的事情. 從那一天起，政客們便遠離了 π.

來源：節選自《你不可不知的 50 個數學知識》

本文來源：網易科學人 責任編輯：郭浩_NT5629