人們是怎麼發現π的呢？

人們是怎麼發現π的呢？我們又是怎麼知道π近似於3.14...的呢？

《物理學家》雜誌早在2018年8月24日發文稱：很遺憾，π的使用時間比歷史上的記載時間還要早，所以，這個問題沒人能解答。但是據歷史記載，π在最開始使用時還不算太複雜，因此我們可以進行大膽猜測。

眾所周知，π是圓的周長與直徑之比。一切與圓相關的內容都能和π扯上關係。

測量任意一個圓的周長與直徑，然後將兩數相除，你就可以得到π了。

任意一個固定形狀的直徑都與其周長成正比，但這沒什麼特別的。此定論適用於任意形狀。如果將任意圖形擴大一倍，則其直徑與周長都將擴大一倍，它們之間的比率仍保持不變。

將一個正方形的周長除以其邊長永遠等於4。

圓的周長與其直徑的比例是一個定值，而人們認識到這一點卻早於歷史記載。但該不完全等於三的數值還需不斷精確。要計算出這個具有無限不循環特點（以3.14159265358979323846264...開頭）的數值還需要一點數學和時間。

約4000年前，古巴比倫石碑上記載π=3。可這個數值看起來似乎不是那麼準確。

如果你將一根繩子一端固定住，另一端綁上鵝毛筆或木炭，那麼你就可以畫出一個近乎完美的圓。如果用一根更長的繩子（至少得是之前那根繩子的2π倍）和一把尺子，你就可以測量出所畫的圓的周長。只要你仔細些，你就可以發現，很顯然π≠3。只要測量誤差低於4%，你就可以看出其中的差距。古巴比倫人編寫了《漢謨拉比法典》，建造了許多令人驚嘆的建築，由此可見，他們有可能很早就有了以釐米為測量刻度的米尺。事實證明，上述的石碑很可能就是一個記錄了圓近似值大致區間的「備忘錄」。我們知道，古巴比倫人已經得出25/8=3.125，而這個近似值的誤差在0.5%以內。得出這個值對於青銅時代的人們來說，已經很了不起了。

只要你在做涉及圓的數學內容，π就會無時無刻不出現在你眼前，因此古代得人們有千千萬萬次機會發現π的存在，所以我們無法確定究竟是哪一次偶然機會使得人們真正發現了π（這一點正是比歷史記錄還早的研究發現的缺點）。例如，有一個高為h，直徑為d的桶的，容量為

所有的證據都說明了儘管π充滿了數學的神秘色彩，但其卻是一個實實在在的數值。這是一個你可以切實測量出來的數據。 但不論怎樣，它都不等於三。雖然圓越大，計算出來π的值越精確，但其用處會越來越小且枯燥，就好像連續吃一周的壽司自助餐一樣，吃多了總會膩。

如果你將π精確到小數點後無窮位數，那麼你就可以測算出圓的周長與其直徑之比約為1：10N。例如，已知π≈3.14，我們就可以將自行車輪胎安裝到輪輞上1釐米以內得範圍。已知π≈3.1415，則可以計算出一英畝的圓形田地外所需的圍欄長度。當然，已知π≈3.1415926535，則可以不浪費一釐米電纜線而將電纜繞地球一周。可以說，將π精確到小數點後10位是毫無意義的，但這並沒有讓數學家停下其嚴苛的演算。一次也沒有過。

定義π不僅為我們提供了實際的測量方法，還提供了數以百計的數學方法，而這個過程就是數學的精巧所在。 像阿基米德和劉徽這樣的數學家，以及與他們相距幾千年的一些不知名的古埃及人，都曾使用切割法來得出π的近似值。劉徽將π精確到小數點後四位數，這比他早約一千年的阿基米德得出的近似值還要精確些。還真是奇怪了。

在羅馬對錫拉丘茲的圍攻中，馬塞勒斯將軍以為知識無國界遂下令活捉阿基米德。遺憾的是，直到最後阿基米德也沒將幾何學原理傳授給羅馬人。

要麼是阿基米德和歷史學家失誤了，要麼是古希臘人比我們獲知了更精確的π的近似值。對於給定的圓，「內接正多邊形」是指其各頂點接觸圓（位於圓的內部），「外切正多邊形」是指其各邊相切於圓（位於圓的外部）。阿基米德通過在圓內相接和圓外相切正九十六邊形計算出圓的周長，以此獲得π的近似值。想要確定π的值，可以由內接正多邊形得出一個下限，而由外切正多邊形得出一個上限。但問題就在於：阿基米德不僅找到了正九十六邊形的周長，還發明了一種迭代算法可通過已給定n個角的圖形周長來計算2n個邊的圖形的周長。也就是說，他從正六邊形（六個角）開始，然後引導至12角，24角，48角，令人費解的事，最後他推導出96角後就不再繼續了。很顯然，他還有比計算出更多位數的π更重要的事要做。講道理，這並不是一個非常精確的數值。但到此，他可能就宣稱問題已得到解決了，因為任何人按照他的程序進行操作，都可以得到他們想要π的位數，然後繼續投入熱射線或類似的事物研究中去（說真的，當時的有錢人們甚至想製造太陽熱射線來保衛錫拉庫扎）。

每當人們運用阿基米德的迭代算法時，得出的π得近似值精確度都會提高約4倍（其收斂速率為1/4）。可事實上這並沒有聽起來那樣令人振奮。因為每5次迭代就會得出小數點後約3數字。從六邊形到96邊形阿基米整整算了4次，最後將π精確到小數點後3位。如果他再辛苦一點，重新計算該過程（例如再重複10次），那麼他將會將π精確到小數點後9位數。雖然這毫無用處，但覺得值得到處吹牛。

與現代計算方法得出的精確值相比，這些先輩們得出的近似值，不再讓人感到驕傲。阿基米德運用技術線性收斂可得出π的精確值（每次使用該算法，得出的π的位數大致相同）。直到我們發明了二次收斂算法後，事情的發展才真正進入正題，二次迭代算法使已知π位數的數量翻倍。也就是說：如果你將π精確到十位數，那麼在下一次迭代之後，你將得出π的二十位數。當今最快的算法莫過於非常規地收斂。（每一次計算將比前一步計算結果的精確九倍）。

π的定義為圓周長與圓直徑之比，這使我們可以直接但不準確地對圓進行測量，抑或對其進行精確而但卻毫無意義的計算。 π還有更抽象的屬性（例如，它能無限不循環下去（事實確實如此）或其他任何具有可能性（也只是可能）的形式），但這些抽象屬性需要的不只是直接粗暴的數字計算。想得出這些更為抽象的屬性，就要立足於π的定義而不是其數值多少，忽略哪怕一個數字，我們可能得出結果但也可能被輕易推翻。在物質世界中數學的確很有用，但數學並不是「原本就生活在這裡」。 雖然π具有物理意義，但是我們主要依據其數學特性來了解它。

答案很簡單：古代人非常聰明，如果能他們能長生不老的化，他們很可能會一直算下去，知道算出來為止。而這就是阿基米德算法所蘊含的數學基礎。老實說，這其實不是阿基米德的計算方式。所以很顯然，古希臘數學家受到了錯誤理念的影響，即小詞彙蘊含大玄機。因此，即使再翻譯過後，他們的譯文仍然像希臘文那樣難以理解。

梅德斯先生的方法如下所示。如果In是內接正多邊形的周長，而Cn是外部n邊的周長，則：

你可以花費九牛二虎之力，再運用大量方程式計算來證明，隨著圖形邊的數量增加，該圖形周長將無線接近π（圓的周長），或者你可以直接畫一幅畫說「看……這是真的」。

先用虛線畫一個圓，其有內接和外切n角（藍色）和2n角（紅色）的正多邊形。正多邊形每段的長度是總周長除以段數（因此，所有段均除以n）。

如果將六個等邊三角形粘在一起，則會得到一個正六邊形，並帶有一點三角，您會發現，如果您的圓的直徑為1，則內接正六邊形的周長為I6 = 3，而外切正六邊形的周長為C6 =2√3≈3.46 。

要算出正十二邊形的周長，就將C6和I6插入迭代方程式：

而這個周長都比迭代前的任何一個結果都更加接近於π，並且由於所有n的I_n <\ pi <C_n，因此我們可以找到π的範圍越來越小。以下是其運算原理：

在圓上畫內接或外切的正多邊形會形成某種對稱性。因此我們可以通過繪製一些三角形來快速地找出它們的各個角度。

也就是算出內接正多邊形的一條邊或者外切正多邊形的一角。內接正多邊形裡面的邊長可以由2n角地正多邊形推導出。紅色陰影三角形都相似（因為它們都有相同的角度），藍色三角形也都相似。

一個完整的圓為360°，因此正多變邊形的每一邊都跨度為360° / n度。那麼∠a就是這些角度的一半，因此∠a = 180 °/ n。

因為三角形中內角之和為180°，所以兩∠b之和與∠a互補（二∠b之和為90°），第三個角度為90°（以直徑為斜邊的圓內切三角形對角為90°）。因此，∠b = 90°-180 °/ n。

∠c和∠b互補，因此∠c =∠ a = 180° / n。

∠c + ∠d = 180°，因此∠d = 180°-∠c = 180°-180° / n。

三角形中的角度之和為180°，因此∠d + ∠e +∠ e = 180°，∠e = 90°-∠d / 2 = 90 °/ n。

最後，∠b + ∠e +∠ f = 90°，所以∠f = 90°-∠b-∠e = 90° / n。

由於∠f = ∠e，所以兩個紅色三角形角度相等：它們是「相似的三角形」。類似地，由於∠c = ∠a，所以兩個藍色三角形角度相等並且也相似。當兩個三角形相似時，其邊的比例相同。

關於邊長計算如下。

利用藍色三角形的相似點，我們可以推導出：

當然，紅色三角形計算過程如下：

因此，我們從一個已知的幾何形狀和π的定義入手，找出一個計算方法，投入大量時間進行演算就可以求得一個無限趨近於π的數。

乘法和長除法比較簡單，可以手動計算。 對於古人來說，迭代算法中最難的部分是平方根以及製作計算所需的草稿紙。幸運的是，古人也有一些技巧。例如，如果要取S的平方根，只需假設一個x，然後計算

，然後你就會得到一個比您最初的猜測x更接近

的結果。 這種方法是古巴比倫人和阿基米德人所熟知的（實際上是「巴比倫方法」），通過二次收斂，幾乎可以立馬得到你所想要的任何（合理的）精度。

所以重點就是，你可以通過運用理性思維，投入大量時間不斷進行演算，最後找到你所需要的π位數。

作者: The Physicist

FY: 加鹽牛軋糖

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