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最近有幾位長期關注我文章的朋友提到讓我寫一寫有關黃金數φ與圓周率π之間的關係。我個人的觀點是兩者沒有本質的關係。這點我深信不疑。那今天為什麼還要在這裡寫這個題目呢？也是碰巧最近看到有寫兩者關係的內容，所以一時產生了興趣，迫切想知道兩者是怎麼聯繫起來的，是不是真的有一種內在的關係。下面我就把我所看到的介紹給您，由您自己判斷兩者的這種關係是一種什麼類型的關係。我自己的學識有限，有很多不懂的，需要不斷學習。所以拿來與大家討論。
構建一個以φ、1和1/φ為三邊的長方體。其中φ為黃金比，即我們通常所說的0.618...，它的精確表示是一個無理數：[(根號5)-1]/2。而1/φ等於φ+1，等於1.618...，精確值是[(根號5)+1]/2。我們很容易求出長方體的體對角線的長度為2。這個長度為2的體對角線就是長方體外接球的直徑。如下圖所示。
那麼，這樣構造的長方體的表面積與其外接球的表面積之比等於
也就是說，黃金比φ與圓周率π竟然出現在同一個公式中，並且挨得很近。
通過計算，我們可以證明上面這個結果是正確的。首先，我們計算長方體的體對角線BE的長度。
從而半徑OB=1。注意，這個計算過程只與φ有關，與π無關。
然後，計算長方體表面積和外接球的表面積：
所以，
我們證明了上面結果的正確性。但是能不能就說黃金比φ與圓周率π之間有關係呢？上式中，看似兩者之間產生了關係，但仔細想一想，會發現，兩者同時出現在一個公式中的現象並沒有什麼特別的。從上面計算過程知，兩個表面積是分別計算出來的，其中一個只與黃金比φ相關，另一個只與圓周率π相關。於是，兩者的比值當然就把兩個數放於一個式子中了。這個很自然，說明不了什麼。
讓人產生驚奇的也許還有球正好是長方體的外接球，但這也不奇怪，任何長方體都有一個外接球。用黃金比構造的這個長方體當然也可以有外接球，而一出現球，自然與π產生關係。我本人認為，黃金比與圓周率沒有本質的關係。我們可以說黃金比與正五邊形有關係，但黃金比與圓周率目前還沒有發現有什麼本質的關係。不知您怎麼看？
但這個題目還是很有趣的，並且把它分析清楚，還是需要一些數學知識的，比如黃金比φ是什麼；長方體的體對角線正好是它的外接圓的直徑；球的表面積等於四倍的大圓面積，等等。人類對數學的研究有幾千年的歷史了，對黃金比φ與圓周率π的研究可以寫出厚厚幾大本書。本文拿給您看的這種所謂的關係，您就當做數學花絮吧。
我在思考，數學是什麼？這個題目中，全是數學內容沒錯。但把兩個不相干的無理數拉到一起，在我看來，就不是很純粹的數學，頂多算是一種好玩的數學。我寫這篇文章，就是想讓您不要覺得數學有多神秘。數學是宇宙客觀存在，人們的大腦可以去認識它，但數學不神秘。數學是實事求是的，有一說一，有二說二，有就是有，無就是無，從不誇大。這也是我喜歡數學的原因之一。以上是我個人的觀點，如若不對，請批評指正。
下期介紹另一個有趣的所謂φ與π的關係的例子。到時您看一看它們的關係到底是一種什麼樣的關係。也涉及很多數學知識。