圓周率 Pi(π)為圓周長與其直徑的比值，通常近似為 3.14159。在美劇《疑犯追蹤》第 2 季 11 集就提到了這個最著名的數學常數，該集裡主角芬奇先生是一名代課老師，他在黑板上寫了 3.1415926535。然後他問學生們：「這意味著什麼？」
我在腦海中立馬冒出了這個問題的答案，心想：「如果我有一個直徑為 1 的自行車輪胎，那麼這個自行車輪胎旋轉一周行駛的距離就是 π。」 然而，在電視劇中，沒有學生如此回答。
見如此場景，芬奇先生自己給出了答案，他說：「π 是圓的周長與直徑之比，3.141592635 僅僅只是這個比值的前幾位，它本身是一個無限不循環小數，小數點後有無限個數位，並且永不重複；你的出生日期，儲物櫃的密碼，你的社會保險號碼等等都在這個數字串的某一處。如果你把這些小數轉換成字母，這些字母可以組成任何一個存在的單詞，這些字母可以是嬰兒發出的第一個音節，可以是你心上人的名字，可以是你這一生中的所有故事的描寫，可以是我們說過的或者做過的每一件事情。世界上所有無限的可能性都存在於這個簡單的圓裡。現在你將如何處理這些信息；它有什麼好處？這取決於你…」
這樣極具戲劇的一幕，雖並不準確(馬上就會談到)，也讓我稱讚不已。因為現實中有很多人都努力要成為(或者有)像芬奇所飾演優秀且有趣的教師。這樣的教師不僅能引導學生們討論課本以外的知識，而且還能讓其全神貫注在課堂之中。
不過話說過來，芬奇先生所說並非100%正確的，因為數學家還沒有證明 π 為正規數。換句話說，數學家們尚未知 π 是否包含從 0 到 9 的所有有限的數字排列。
數學上，粗略來說，正規數指，數字顯示出隨機分布，且每個數字出現機會均等的實數。
沒有人知道如果數學家繼續研究下去會發現什麼。比如，當我們觀察 π 的前 10 億位時，我們看到數字 7 出現了將近 1 億次。這使得 π 成為一個很好的隨機數生成器。但是，在某些點之後，π 可能不包含 7，可能是一個只有兩個或三個數字的不循環重複的數字，例如會出現 010203112233000111222333 這樣詭異的序列。
這裡要提到一個著名的示例，在 π 的前 761 位之後，有一個著名的數學巧合，即連續出現 6 個 9，這被稱之為費曼點(「Feynman point」).
但人們相信 π 的小數位會以一種隨機的順序永遠持續下去，這就變得有趣了，它無限不循環，但同時它又是一個確定的數值。這並不矛盾，π 因為是圓的周長和直徑的比值，所以它是一個有確定值的數學常數。當然，通常的計算中，我們只需要 π 的近似值就夠了。
在 1768 年，瑞士數學家約翰·海因裡希·朗伯證明了 π 的值是無理數，所以它不能寫成分數的那樣形式。在那之前 22/7 就經常被用來當作 π 的近似值，雖然它實際上並不等於 π。我們都知道無理數不能寫成兩個數字的比值（即分數，像 a/b 的形式），因為無理數是無限的，且不循環的小數。
再後來 1882 年，德國數學家費迪南德·馮·林德曼證明了 π 是一個超越數，即不是任意整係數代數多項式的根。
現在人們可以肯定地說 π 是超越數，因為數學家金田康正（Yasumasa Kanada）發現圓周率的前面萬億個數字在統計學上是隨機的。如果你查看下表，你會發現每個數字發生的事件是獨立的，發生的概率約是十分之一。
▼ 圓周率中連續的六個9
許多年之後的 2019 年，谷歌女工程師 Emma Haruko Iwao 利用雲計算資源，花了 121 天計算出 π 的 34.1 萬億位。你可以在你腦海中想像這樣畫面：如果要用普通字體列印 π 小數點後的 10 億位，它的長度將從美國紐約延伸到堪薩斯州！
然而，34.1 萬億位這麼巨大的數字仍然不足以去在數學上證明 π 是正則數成立。超級計算機仍在嘗試挑戰計算更精確的 π。你查看下面的圖表就會看到自公元前 250 年以來，歷史時間軸圖上探索圓周率的已知位數。
▼當數學家發現新的算法、電腦變得普及時，π 的已知小數位呈指數增加。注意垂直坐標使用了對數坐標
再回到文章提到這部美劇中芬奇先生，我們明白他所說的也非錯誤。你可以很輕鬆地在 π 中找到自己的生日。如果你登陸這個網址 mypiday.com 輸入你的生日，上面就會顯示它在 π 中的位置。
如果 π 是一個正規數，那可以說我們的整個命運是用 π 編碼，將來發生的一切畫面（圖片是二進位文件）都將在 π 裡揭示，甚至這篇文章也在 π 裡某個位置默默存在。從這一點來說芬奇先生其實是正確的。接下來我們用一種有趣並且充滿藝術性的方式來展示 π 的隨機性。
儘管在科學家們眼中那些單調乏味的散點圖並不枯燥，但是數據藝術家們利用色彩對其進行數據可視化之後，它們就變得容易被大眾欣賞接受。Martin Krzywinski 就是這樣一個藝術家，他探索 π 的藝術之美，他給 π 中的每個數字賦予一種不同的顏色。比如，他讓橙色表示 3，紅色表示 1，黃色表示 4 等等。然後他做了一張美麗的海報(第 2 副)。這樣如果你仔細看，就觀察看不到任何特別模式的圖案。
▼ Martin Krzywinski所設計的可視化作品
除了有這麼多引人入勝的事實之外，圓周率也是迄今為止數學史上研究最多的數字。幾個世紀以來，數學家一直在努力計算更精確圓周率值。人類到底應該停下來研究 π 的其他性質，還是應該繼續探究一個 π 的更精確的值？還是假定 π=3.14 就足夠了？要知道用 40 位的 π 來計算銀河系的周長，而誤差還不到一個質子的直徑。
有成百上千的數學家多年來一直在試圖找出圓周率的更多數字。這就像試圖到達月球，然後目標就是到達下一個火星，以此類推……但為什麼？為什麼數學家要費心計算更多的位數呢？為什麼 34.1 萬億位的 π 還不夠？是因為圓周率蘊藏在每一個圓之中嗎？
▼ 每一次旋轉都是有 π 的身影
我們給出看著晦澀難懂但其實是合乎邏輯的理由，因為 π 是產生隨機數的來源。儘管現實的原因可能是各國可以藉此向他國炫耀自己的科技水平，因為計算萬億位數的 π 需要一臺非常強大的計算機。比如在《星際迷航：Wolf in the Fold》劇集中，斯波克就施計讓邪惡的計算機「給出 π 的最後一個數字」，以此來永遠阻塞它下一步企圖。
另一方面，我們人類總是去嘗試攀登更高的山，潛入更幽深海溝……或者嘗試著去記住 π 小數點後面的數字，比如呂超，他準確無誤地背住了 π 小數點後的前 67，890 位。人們一直都在挑戰做著這些嘗試是因為想要更了解所生活的這個世界。
在 1962 年 9 月 12 號，約翰甘迺迪（John F. Kennedy）發表了一篇關於太空計劃的演講。
「為什麼選擇登月作為我們的目標？那他們也許會問為什麼我們要登上最高的山峰？為什麼，要在35年前，飛越大西洋？為什麼賴斯大學要與德克薩斯大學競賽？我們決定登月。我們決定登月。我們決定在這十年間登上月球並實現更多夢想，並非它們輕而易舉，而正是因為它們困難重重。因為這個目標將促進我們實現最佳的組織並測試我們頂尖的技術和力量，因為這個挑戰我們樂於接受，因為這個挑戰我們不願推遲，因為這個挑戰我們志在必得，其他的挑戰也是如此。」
回溯過去，π 貫穿著整個人類歷史。這就是為什麼我們可以說，只要有人類存在，總會有人想知道它的下一位是什麼。而且我確定，在這個世界的某個地方裡一定有數學家或者科學家正在利用 π 去探索我們宇宙中的奧秘，因為 π 仍然是自然界的神秘常數。
探究 π 之路
數學有著久遠的歷史，與人類文明一樣古老。
π 被人類研究了近4000年。早在公元前 1700 年，當世界上最後一頭猛獁象倒下之際，人們就已估算至前兩位（「3」和「1」）。
來自古希臘的阿基米德便是最早計算圓周率的智者之一。當時他可能是設計製造車輪的過程中接觸到這個神秘的常數。但是他究竟是怎麼估計出 π 的約值呢？他先是把所有的多邊形都看作是圓，據他所說，如果持續增加多邊形的邊數，就會得到一個接近完美的圓。換句話說，五邊形比正方形更圓，而六邊形比五邊形更圓，等等……就這樣，傳奇數學家阿基米德在兩千多年前就把圓定義為一個邊數極大的正多邊形。
他所採用這樣透過正多邊形的幾何算法是有用的，因為當時人們很難精確地測量曲面。首先，他做了已知周長的正方形的外接圓，然後在這個外接圓的外面畫第二個正方形，滿足外接圓是第二個正方形的內切圓並求出該正方形的周長。這樣他就得到了圓的周長應該是介於兩個正方形的周長之間。然而利用這種方法計算出來的兩個正方形的周長差值比較大。因此他又把正方形換成五邊形來重新計算圓周的上下界，他得到了一個較小的圓周的界限。之後，他不斷地增加圓內切和外接多邊形的邊數。
▼ 阿基米德使用窮竭法通過計算外接多邊形和內接多邊形的周長來估計π
邊數每增加一，對 π 的估值就更精確一些。他一直計算到 96 條邊的正多邊形， [英文: Enneacontahexagon] 此時圓的周長位於 223/71<π<22/7 (3.1408 and 3.1429 之間)。因此，他計算 π 到小數點後的精確兩位。阿基米德的手動計算方法當然還可以再改進，這樣也讓他窮盡一生都沒有達成。
而我國南北朝劉宋時代傑出的數學家、天文學家祖衝之利用割圓術計算12,288形的邊長，得到 π≈355/133，其小數點後的前六位數都是正確值。這樣的結果在之後的八百年內，都是準確度最高的 π 估計值。
數學家們需要去找到更有效的公式和更新的數學方法。微積分的發明使得 π 的計算有了一次大的飛躍。之後，數學家開始用無窮級數的方式來計算 π。無窮級數是有序的無窮個數字和的表達式，而且收斂的無窮級數會得到一個特定的值。
當今世界人類有很多方法去計算 π，最早的格雷果裡-萊布尼茨公式如下圖所示。這樣利用無窮級數去表示反正切函數 arctanx，把無窮多個小數加到一起計算出了 π。
當 x=1 代入方程即能求得 π/4 的值。人們所展開的項越多，結果越趨近於 π。不過該級數收斂速度實在太慢，為了精確得到 π 小數點後 10 位，我們要把大約 50 億項加起來才好。
探究 π 道路上再往後發展，另一位偉大的數學家歐拉（Leonhard Euler）登場。在他 28 歲(1735年)的時候為解決當時難倒歐洲所有數學家的一個難題，為圓周率找到了下面這個更妙不可言的數學表示等式，並且由他開始使用希臘字母「π」表示圓周率。之後這個符號被歐洲數學家所接受，並應用開來。
上面其實就是巴塞爾問題的準確結果，這樣其實計算得也是無窮級數和。不過，真正奇妙的是所有平方數倒數之和居然與 π 搭上了關係。
除此之外，歐拉還在另一個漂亮的方程中用到 π，即歐拉恆等式。
計算 π 的方法再改進，感謝印度數學家斯裡尼瓦瑟·拉馬努金給出了下面新的計算 π 級數方程，其收斂速度更快。話說他在印度獨立工作時就提出了許多新穎的計算 π 的數列，而當他遠渡重洋去往劍橋所攜帶的一個筆記本裡就有整整 400 頁都是關於 π 的內容。
科技的進步，隨著機械計算機誕生之後，數學家們就迫不及待利用這樣新式工具應用萊布尼茲公式、歐拉公式和拉馬努金的無窮級數來計算出 π 的千百萬位小數。要知道之前手算 π 是非常困難，並且容易出錯。比如，數學家威廉·向克斯宣稱計算出 π 的 前 707 位，但遺憾的是，從 527 位之後他就犯了一個錯誤，再往後的枯燥的計算顯得毫無意義。
無處不在的 π
▼ 萬花尺所畫出的圖案，與外圖板圓圈半徑、內圓圖板半徑及筆洞位置有相關性，其圖案令人聯想到萬花筒
π 在宇宙中無處不在，也時刻存在於我們的生命中。它真的就是被編碼進了宇宙一樣，被用於處理行星軌道，電磁波，河流，極光，DNA 結構，吉薩大金字塔等等……
如果一個科學家想要去描述宇宙的結構或者想要理清行星之間的關係，他絕對要用到 π。因為任何涉及到圓或者球體的事情都與 π 有關。圓形存在於宇宙世界中任何一個角落，可以是小小的肥皂泡，可以是皎潔夜空中的圓月。這就解釋了為什麼數學在科學的所有領域中都是重要的，而 π 能夠幫助我們去理解萬事背後所蘊含的數學思想。
▼ 旋轉生成正弦和餘弦函數曲線
河流的蜿蜒度
▼ 一條振蕩曲線河流的蜿蜒度
π 與地球上的河流有著直接聯繫，但如何測量呢？我們用兩種不同的方法去丈量一條河的長度，假定我們知道這條河的起點和終點。首先，我們需要河流的實際長度才能知道這條河有多彎，換句話說，你從河流的起點遊到它的終點的這段距離就是這條河的長度「L」；其次，我們需要知道河流起點直接到達終點的直線長度「l」，這樣我們就得到了河流蜿蜒度的公式，它等於 L/l，從這個公式可以知道河流的彎曲程度。
最重要的是從這個公式裡我們看出河流彎曲係數沒有上限值，一條河也可以非常彎。然而，地球科學家 Hans-Henrik Stlum 計算出了世界各地的所有河流蜿蜒度的平均值是 π，也就是你如果對所有河流的彎曲係數求個平均值，會得到 π。
▼一條河流自1984至2012的蜿蜒變遷
關於蜿蜒度還有一個有趣的事實，河流可以在某些地形作用下會變得非常彎曲，但再往後又突然變直，這樣在某些範圍內它的彎曲係數值會很大，但是總體求平均之後又能等於 π 均值。根據流體動力學，數學家們計算出的河流彎曲係數最大值約為 3.5，最小值約為 2.7。隨著流水對河面的衝刷與侵蝕，河流愈來愈曲，最後導致河流自然截彎取直，抄近路重新變成直線，原來彎曲的河道被廢棄，形成湖泊，因這種湖泊的形狀恰似牛軛，故稱之為牛軛湖(河跡湖)。這使得河流蜿蜒度係數會在 π 上下浮動。
π 與太空
宇宙的運轉背後有著內在的數學秩序，比如，要了解太陽系，就離不開 π。我們知道，地球以太陽這顆恆星為中心旋轉，萬物賴以生存的陽光由它而來。要研究光，我們首先得知道恆星太陽的表面積有多大，根據球的表面積公式 S=4πr，而計算行星的大小也有助於科學家猜測它是否適合人類居住。
▼ 地球每繞太陽 8 圈，金星就繞了 13 圈
另外一個能夠很好地說明 π 和宇宙之間的關係的例子就是兩個電荷之間發生的靜電作用力，電子向各個方向施加力，形成電場。電子在電場中也相互作用。為了計算這種相互作用的大小，我們需要計算電場的表面積，這就又要用到了 π。
π 和地心引力自然也有關係，你可以看看愛因斯坦的場方程，裡面也顯露出了 π 的身影。
上面的方程計算了宇宙物體如何利用它們的引力彎曲時空，如恆星和星系。愛因斯坦說，就像一個放在床單上的球，任何形式的動能和能力也可以它周圍的時空彎曲。換句話說，公式是：Gravity = 8 x π x Energy & Momentum。
所以 π 是宇宙和其中所有物體的重力、能量和動量的一部分，這就區別於其他任何一個無理數。另外，如果你把重力加速度開平方，也會得到一個接近 π 的值。
▼ π 是可以視為光波的一部分，波產生了顏色、波產生了聲音、波產生運動
在大自然中尋找 π 的身影
藉助無窮級數並不是尋找 π 的唯一方法，在我們日常的一些很酷、有趣的實驗也能得到 π 的近似值，其中一個叫做蒙特卡羅方法。
▌蒙特卡羅方法
蒙特卡羅方法是一種以概率統計理論為指導的數值計算方法。它用隨機數（或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。
假定我們現在有一張網格型坐標紙，建立有原點的平面直角坐標系，利用介於 0 和 1 之間的數對標出坐標平面上第一象限的點，在這過程中，你會發現一些點到原點的距離小於 1，一些點到原點的距離大於 1，而這些點之間就是四分之一的圓周，它的面積幾乎就是 π/4，下圖是一個有 1000 個點的例子。
▼ 使用蒙特卡羅方法估算π值. 放置30000個隨機點後,π的估算值與真實值相差0.07%(圖自維基)
▌布豐投針
18 世紀法國法國博物學家、數學家喬治·路易斯·勒克萊爾嘗試計算一個實驗中某個事件的概率值。具體是這樣的，他準備了一張印有多條橫線的格紙，隨機地向畫有平行直線的紙上將針投擲若干次（針的長度小於兩條橫線之間的距離），然後計算針與線相交的概率。之後他用許多針做了多次重複的試驗，試驗結果顯著，這個概率值接近 π 值。
這裡設針的長度是 l，平行線之間的距離為 t，當拋 n 支針，其中有 h 支針與線相交，則有如下的公式：
在勒克萊爾之後，義大利數學家拉茲瑞尼為了驗證,作了幾乎 3500 次的投針試驗，他非常準確地得到了圓周率i的前六位小數 3.1415929。
▼ 1000 根針來估算圓周率(圖自Reddit)
圓周率日
人類對圓周率的研究已經有近 4000 年的歷史了。1988 年，物理學家賴瑞·蕭在舊金山探險家科學博物館舉辦了首次圓周率日派對慶祝活動。另外，這天子也是愛因斯坦的生日，愛因斯坦還曾在這一天發表過他的廣義相對論。
▼ 谷歌曾不止一次在圓周率日推出過相應主題塗鴉
簡言之，數學其實一門銘刻在全人類大腦裡的語言，而 π 只是其中的一個符號。正如約翰·甘迺迪知曉月球離我們不是無限遙遠，雖不容易，但人類只要努力就是能到夠到達。我相信，總有一天偉大的數學家們會揭示 π 越來越的秘密，與 π 共舞。
最後，我多麼希望芬奇先生是我學生時代的老師。
▼ 本文作者: [遇見數學翻譯小組]核心成員 lisa