為什麼說使用圓周率π可能是一個巨大的錯誤?

2020-11-23 火星科普

今天是3月14日,這是一年一度的圓周率日,世界各地的數學愛好者都會慶祝這一特別的節日。但也有數學家對此潑冷水,他認為用3.141592653…作為圓周率(π)或許是個巨大的錯誤。這可能會讓那些記住了7萬位圓周率小數位的人(目前只有兩人能夠做到)感到詫異,他們或許會最早站出來反對這樣的事情。

當然,這並不是說圓周率的具體數值算錯了,也不是說圓周率不是無理數和超越數。根據猶他谷大學數學系系主任Bob Palais教授,應該用2π(記作τ)來作為圓周率更合適。

對於任意一個圓,它的周長和直徑的比值始終是一個相等的常數,這個常數就被定義為圓周率π,其大小約為3.14。但在Palais教授看來,更好的選擇是把圓的周長與半徑的比值定義為圓周率τ,其大小約為6.283185307…。雖然τ的數值並沒有什麼特別之處,它看起來就像π一樣沒有規律可循,但在某些方向,用τ顯得更為方便。

在Palais教授看來,首先,2π出現在一系列重要的科學定理和公式之中,其中包括正態分布公式、傅立葉級數、柯西積分公式、麥克斯韋方程組、黎曼ζ函數和無處不在的圓的周長公式(2πr)。數字2分明就是多餘的, 為什麼不用一個符號代替它呢?

其次,π會對學習幾何和三角函數的學生造成不必要的困惑。通常情況下,一般用弧度來表示角度。一個完整圓的弧度為2π,所以1弧度約等於57.3度。

一個發人深省的類比是,如果時鐘的1小時定義為30分鐘,在這種情況下,15分鐘或四分之一小時就被稱為半小時,如同在數學中一個圓的四分之一是π/2。

物理學家Michael Hartl表示,如果我們拋棄π,用τ(τ= 2π)來表示,這將帶來不小的變化。

在使用τ的情況下,一個圓的四分之一的弧度等於τ/ 4,半圓等於τ/2,整個圓等於τ,等等……顯然,這種表示更整潔。還有不少公式中的2π能夠去掉,只用τ表示使公式看起來更緊湊。

另外,這種變化不會讓圓周率日消失,只是每年的慶祝時間要從3月14日轉變為6月28日。

然而,現實是π已經根植於各種數學和物理學公式中,像要把它弄走是極其困難的。例如,在著名的歐拉恆等式中,圓周率的出現形式並非是2π而是π,如果用τ來表示,就必須使用τ/2,這就會破壞這個被稱為最美數學公式的優雅形式,想必很多人會反對這樣的事情。

雖然Hartl知道想要用τ來取代π的地位十分困難,但他認為,至少討論τ將會是向人們介紹數學和科學的一個完美機會。

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