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從數學上說，兩者其實沒有本質上的聯繫。但人類是很有趣的物種，好奇心極強，總想找出點兒什麼關係來。這些關係中，有的牽強，有的勉強，但也有一些確實很了不起。最了不起的關係，我想，非下面這個偉大的歐拉公式莫屬：
今天不講上面的公式怎麼得來（以前講過，很詳細）。我今天要講的主要內容從下面開始。
歷史上有人不知怎麼琢磨出來的，要把下面兩個數進行比較：
那時沒有計算器，直接計算比較大小或通過作差比較或求商比較，都還真不是很容易辦到。但微積分已經發明了，果真，微積分的力量就是強大，下面我們就看一看這個比較大小的問題是如何通過微積分得以圓滿解決。
順便說一下，這兩個哪個大哪個小，其實沒有太多意義。我們只是藉助對他們的比較，展示一下微積分的威力。
若是正敘，倒是邏輯嚴謹，滴水不漏。但我不想這樣做。我打算採用倒敘的方法，並且倒敘的方法讓您很快抓住問題的本質，然後剩下的就是技術上的問題了。
現在不知誰大誰小，不妨像下面這樣把<、=、>都先寫上(不影響我們的推理)：
到此，您看出一點兒什麼沒有？好的，它的下面這個函數在x=e和π時的函數值。
這個函數比較特別是不是？不管它，但可以看出，它至少在x>0是連續可導函數。好的，我們就試著求一求它的導數。（為什麼?）
直接求導不好求。先兩邊取對數，再求導：
發現，x=e ( 它使得1－ln x = 0 ) 是唯一使y'=0的點。即x=e是唯一的駐點。注意，我們在前面出現過e，也就是在下式中：
即上面進行比較的兩個數中位於左端的那個數，就是函數y在x=e處的值。那麼， 下面我們要做什麼呢？如果能夠確定x=e是極大值點或極小值點，那麼便可以由π位於e附近(π>e)，判斷出「e的e分之1次冪」與「π的π分之1次冪」的大小。
為了確定在x=e時，f(x)取極大值還是極小值，需要求f(x)的二階導數。
求y" 在x=e時的值：
即y"<0。所以，函數y在x=e處取得極大值。又因為x=e是唯一的駐點，所以x=e也是最大值點，y在x=e處取得極大值。所以
到此時，我們的工作已經與前面呼應上了。我們只差最後一步即可大功告成。把上式兩邊分別求eπ次冪：
最後便得出：
假如過了一段時間，並且不把這個不等式放在您眼前，你還能夠說出誰大誰小嗎？那麼，可以這樣：多記一記我們前面用到的那個不太一般的函數：y=x^(1/x)。這個函數在x=e時達到最大值。也就是你要重點記住e這個常數。e是微積分中更加經常提及和用到的，而π好像更多時候出現在初等數學中。e更加抽象一些，而π相對直觀好理解。說e是自然對數的底，但真的說不出它自然在哪裡。π雖然很自然，但仍然是一個無限不循環的無理數，甚至是比根號2這樣的無理數還要「無理」，它不僅是無理數，還是超越數。e也是超越數，我們今天用了高等數學的方法解決了這個大小比較問題，所以，e佔據更加重要的位置。重要，正好兩數中以它為底的數也較大。即以e為底的那個較大。
但兩者其實還真的很接近，相差約為3% 。這也就是為什麼有人提出把這兩個數進行比較的原因。很有趣。
本篇內容是借這兩個數的比較大小，實際上是講解了一下微積分的知識內容，涉及一階導數，二階導數，駐點，極大值與極小值，最大值與最小值等內容。