原題
原題：已知函數f(x)=2lnx－x^2，g(x)=x+a/x。
⑴設函數f(x)與g(x)有相同的極值點。
(ⅰ)求實數a的值；
(ⅱ)若對任意的x1，x2∈[1/e,3］，不等式(f(x1)－f(x2))/(k－1)≤1恆成立，求實數k的取值範圍。
⑵當a=0時，設函數h(x)=e^g(x)－sin(g(x))－1。試判斷h(x)在(－π,0)上零點的個數。
這道題中給出了兩大問，第一問中包含著兩個問題，相當於三問，這三個問題看起來都很難，實際上它們都存在著一般的解題步驟和知識點，如果你知識了這些步驟和知識點，這三道問題也就迎刃而解了。
第一大問的第一小問
第一大問中的第一小問是求實數a的值，而給出的已知，除了兩個解析式之外，就告訴我們「函數f(x)與g(x)有相同的極值點」，所以要想得出實數a的值就要從這就話上入手。
而這句話往往會讓很多同學誤會，認為相同的極值點應該是函數f(x)與g(x)有相同的極大值或者是相同的極小值，實際上不是這樣的，如果函數f(x)有極大值點，這點也可能是函數g(x)的極小值，也可能是它的極大值。
因為每個函數的導數在極值點處的值都是等於零的，所以無論函數f(x)的極值點是g(x)的極大值點還是極小值點，得出的函數f(x)的極值點代入函數g(x)的導數，都會使g(x)的導數值為0。
具體做法：
一次導數f＇(x)=2/x－2x=2(1－x^2)/x (x>0)。
即當0<x<1時，f＇(x)>0，所以函數f(x)此時為單調遞增；當x>1時，f＇(x)<0，所以函數f(x)此時為單調遞減。
所以當x=1處是函數f(x)極大值，因為函數f(x)與g(x)有相同的極值點，所以將x=1代入g(x)的導數中，則該一次導數g＇(x)=0.
因為g＇(x)=1－a/x^2，將x=1時，則有1－a/1^2=0，解得到a=1.
這樣就求出了a的數值。
第一問的第二小問
第二小問是求恆成立的問題，對於恆成立的問題都是將要求出的k的取值範圍單獨放在不等號的一側。
如果不等號是大於等於號，只需要證明不等號的左邊的方程的最小值大於不等號右邊方程的最大值，此時不等式一定恆成立；如果不等號是小於等於號時，只需要證明不等號的左邊的方程的最大值小於不等號右邊的方程的最小值，此時不等式一定恆成立。
對於給出的不等式「(f(x1)－g(x2))/(k－1)≤1」並沒有給出k的已知，如果k－1小於0是需要該不等式的不等號改變方向的，而當k－1大於0時，該不等式就不需要改變不等號的方向，所以在無法判斷k－1的正負時，我們需要分布討論說明k－1大於0和小於0的情況。
當k－1>0時
即k>1時，原不等式「(f(x1)－g(x2))/(k－1)≤1」變為f(x1)－g(x2)+1≤k，所以只要求出函數f(x1)－g(x2)+1的最大值，就可以得出此時k的取值範圍。
要想函數f(x1)－g(x2)+1取最大值，則函數f(x1)要在區間[1/e,3］上取最大值，函數g(x2)要在區間上取最小值。
因為函數f(x)在區間（0，+∞）上是先增後減的，而區間[1/e,3］是區間（0，+∞）的子區間，該函數極大值點也在子區間[1/e,3］內，所以在區間[1/e,3］的最大值就是該函數f(x)的極大值，即f(x)max=f(1)=－1.
因為a=1，所以g(x)=x+1/x，一次導數為g＇(x)=1－1/x^2=(x^2－1)/x^2，令 g＇(x)=0，解得到x=±1。
所以當x<－1時，函數g(x)為增；當－1<x<1時，函數g(x)為減；當x>1時，函數g(x)為增。
因為x2∈[1/e,3］，所以函數g(x)在區間[1/e,1］為減，在區間[1,3］為增，即當x=1時，g(x)取最小值，即g(x)min=g(1)=2.
所以函數f(x1)－g(x2)+1最大值為－1－2+1=－2，所以此時k≥－2.
所以此時k的取值範圍為k>1.
當k－1<0時
即k<1時，則不等式「(f(x1)－g(x2))/(k－1)≤1」變為f(x1)－g(x2)+1≥k。
設t=f(x1)－g(x2)+1≥k，所以要想不等式「f(x1)－g(x2)+1≥k」恆成立，只需要函數t=f(x1)－g(x2)+1的最小值大於等於k即可。
要想得到函數「t=f(x1)－g(x2)+1≥k」的最小值，只需要f(x1)取最小值和g(x2)取最大值即可。
函數f(x1)在區間[1/e,3］是先增後減的，所以最小值只能是兩個端點中取。
即f(1/e)=－2－1/e^2，f(3)=2ln3－9，因為－2－1/e^2＞2ln3－9，所以函數f(x)在區間[1/e,3］的最小值為當x=3時，即2ln3－9。
函數g(x2)在區間[1/e,3］先減後增的，所以最大值只能是在兩個端點中取。
即g(1/e)=e+1/e，g(3)=3+1/3，因為3+1/3>e+1/e，所以函數g(x)在區間[1/e,3］上的最大值為當x=3時，即3+1/3。
所以函數t=f(x1)－g(x2)+1的最小值為2ln3－9－3－1/3+1=2ln3－34/3.
因為2ln3－34/3<1，所以此時k的取值範圍為k≤2ln3－34/3.
綜上所述，k的取值範圍為(-∞,2ln3－34/3]∪(1,+∞)。
第二問
第二問是求「當a=0時，設函數h(x)=e^g(x)－sin(g(x))－1。h(x)在(－π,0)上零點的個數。」
當a=0時，g(x)=x，則有函數h(x)=e^x－sinx－1，即求函數h(x)=e^x－sinx－1在(－π,0)上零點的個數。
要想求函數h(x)在區間(－π,0)上零點的個數，要對函數h(x)求導，根據該導數與0的大小關係來判斷該函數的單調性，再根據該函數的單調性來判斷該函數的最大最小值，然後根據函數的最大最小值與0的大小關係來判斷該函數零點的個數。
對於函數h(x)=e^x－sinx－1求導得到一次導數h＇(x)=e^x－cosx (－π,0)。
如圖，根據餘弦函數圖像y=cosx在區間(－π,－π/2)上是一個恆小於0的數，且e^x在(－π,－π/2)上是大於0的數，所以一次導數h＇(x)=e^x－cosx在區間(－π,－π/2)是恆大於0的，所以函數h(x)在區間(－π,－π/2)上是單調遞增的。
又因為h(－π)=e^(－π)－sin(－π)－1=e^(－π)－1<0，而h(－π/2)=e^(－π/2)>0，所以該函數h(x)在區間(－π,－π/2)上有一個零點。
所以下面我們只需判斷函數h(x)在區間(－π/2,0)上的零點個數即可。
而一次導數h＇(x)=e^x－cosx在區間(－π/2,0)上無法判斷出與0的大小關係，那該怎麼辦呢？
這種情況下我們要對一次導數h＇(x)=e^x－cosx進行二次求導，根據該函數h(x)的二次導數來判斷函數h(x)的一次導數與0的大小關係。
則二次導數h＂(x)=e^x+sinx，那就有很多同學說了，這二次導數在區間(－π/2,0)上也不好判斷出與0的大小關係啊？
我們仔細觀察二次導數h＂(x)=e^x+sinx，我們不難發現它在區間(－π/2,0)上是單調遞增的，因為e^x在該區間是單調遞增的，而sinx在該區間也是單調遞增的。
因為當x=－π/4時，二次導數h＂(x)=e^x+sinx的值為e^(－π/4)－√2/2<0，因為e^π>e^3>4，所以e^(π/4)>4^(1/4)=√2，所以e^(－π/4)<√2/2；因為二次導數h＂(x)=e^x+sinx隨著x不斷趨近0時，該二次導數也趨近最大值，即該最大值為1>0。
所以在區間(－π/2,0)上存在一點使二次導數h＂(x)=e^x+sinx=0，設該點為x0，則有e^x0+sinx0=0，此時的x0∈(－π/4,0)——這個範圍後面要用。
即當－π/2<x<x0時，h＂(x)<0；當x0<x<0時，h＂(x)>0.
所以一次導數h＇(x)=e^x－cosx在區間(－π/2,x0)為單調遞減，在區間(x0,0)上是單調遞增。所以當x=x0處，一次導數h＇(x)=e^x－cosx取最小值。
因為e^x0+sinx0=0，所以e^x0=－sinx0，所以一次導數h＇(x)=e^x－cosx的最小值為e^x0－cosx0=－sinx0－cosx0=-（sinx0+cosx0）=－√2sin(x0+π/4)，因為x0∈(－π/4,0)，所以x0+π/4∈(0，π/2)，所以一次導數h＇(x)=e^x－cosx的最小值為e^x0－cosx0<0.
因為當x=－π/2時，一次導數h＇(x)=e^x－cosx=e^(－π/2)>0，h＇(0)=1－1=0，一次導數增的部分是恆小於0的，所以存在一點x1∈(－π/2,0)，使一次導數為0，即h＇(x1)=e^x1－cosx1=0。
所以當x∈(－π/2,x1)時，h＇(x)>0，則函數h(x)是單調遞增的；當x∈(x1,0)時，h＇(x)<0，則函數h(x)是單調遞減的，所以當x=x1處是該函數在區間(－π/2,0)上的最大值。
而可能最小值在端點，即h(－π/2)=e^(－π/2)>0，h(0)=0，所以在區間(－π/2,0)上h(x)都是恆大於0的，所以在區間(－π/2,0)上函數h(x)沒有零點。
綜上所述，h(x)在(－π,0)上零點的個數為1.
總結
這道題第一大問中的兩問，思路、步驟還是很好理解的，但是第二問就很多同學不是很理解，因為很多點都求不出來，但是對於這樣的點，我們無需求解出來，完全可以設出來，其目的在於求出原函數h(x)的單調性，再根據該函數的特值點得出該函數零點的個數。
求m範圍？等號能否取到？你真的理解透嗎？透徹的感覺在這！
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若∠AQB為銳角求k的取值範圍？怎麼根據角轉化成直線k的範圍是重點
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