在考試之前會把導數中的放縮思想分成三個專題進行推送一遍，即放縮在零點存在判定上的用法，放縮法在不等式證明中的作用，放縮法在參數取值範圍上的用法，今天結合最近的感悟給出放縮思想在零點存在上的判定。
一、存在參數的單調函數如何判定存在唯一的零點？
在函數零點問題中，通常用函數的趨勢圖像找出符合零點個數的條件，繼而列出所需不等關係，如果函數單調且不含參數，則很容易通過零點存在定理判定出函數存在唯一的零點，但是若題目中含有參數，則一般通過試值法很難判定出零點存在與否和零點所在的區間，例如：函數y=lnx-x-a有兩個不同的零點，求參數a的取值範圍
題目可知函數單調性為先增後減，在x=1處取得最大值，因此若存在兩個零點，需要滿足一下三個條件：
條件1.f(1)>0，這是有兩個零點的大前提，可解的a<-1
條件2.在x=1的左側存在一點x，使得f(x)<0
條件3.在x=1的右側存在一點x，使得f(x)<0
條件2和3中通過試值法無法找到零點存在的區間，因此用零點存在定理無法判定，但是注意找不出零點所在區間的原因除了原函數中存在參數，更重要的原因是不等式f(x)<0在目前的學習階段無法解，而f(x)由對數lnx和一次函數-x組成，若要解出f(x)<0，則可將lnx轉化為能夠和-x組成一個基本初等函數，或者將-x轉化為一個常數，所以本節課的第一個重點是要明白之所以用放縮法是想把一個超越不等式轉化為一個可求解的不等式。
二、放縮思想和化曲為直思想的關係
傳統的證明不等式思路有三個，即作差，作商，等價轉化，在等價轉化中其實就用到了化曲為直的思想，若要證明當x>0時，x<e^x,若直接作差求導，導函數是一個超越函數，因此不得不進行二次求導，但是如果我們將其中一個曲線函數轉化為直線函數，即不等式兩邊同時開根號，則所證的不等式即轉化為x<e^(x/2)，此時再作差求導之後的導函數就是一個可以解不等式的函數了。
而高中階段導數中出現最多的函數為y=lnx和y=e^x，他們均為曲線函數，在指對數混合型函數中直接求導甚至二次求導都有可能無法判斷原函數的單調性，因此常見的思路是將指數函數和對數函數分別放到兩個函數中再分別進行求導求最值，這樣做雖然避免了無法求極值點的缺陷，但是會增加做題步驟，如果在含有指數對數混合出現的函數不等式中我們可以將其中一個轉化為一個常數或者一個直線函數，則再不改變不等關係的前提下會大大簡化計算的複雜度。
從這個角度來看，高中階段的導數放縮思想確實和化曲為直思想很類似，但是放縮也可以化曲為曲，相比於化曲為直，放縮思想更加靈活多變。
三、如何找出合適的放縮之後的函數
放縮是在不等關係中出現的，即若f(x)≥g(x)在給定區間恆成立，則我們可以將g(x)看成是將f(x)放縮之後的函數，因此放縮思想中體現了一個恆成立的思想，以常見的指數和對數函數為例，通過圖像來觀察這種恆成立的現象如下：
因為y=e^x和y=lnx互為反函數，所以有很多性質都是相似的，在上圖中的所有直線都可以看成是兩函數放縮之後(化曲為直之後)的函數，因為它們都存在恆成立的不等關係，因此從上圖中可以看出放縮之後的函數不止一個，甚至斜率和截距都可以適當的變化，這就要求在放縮的時候要足夠靈活，適時調整放縮程度。
那麼如何對函數進行有效的放縮呢，常用的放縮技巧是以下三個：
1.根據單調性進行放縮，注意函數放縮並不是整體的放縮，而是對函數中的某部分進行放縮，若m(x)在x≥1時單調遞增，那麼在定義域內就有m(x)≥m(1)，此時是將函數m(x)放縮成一個具體的數，而整體的函數依舊是一個函數形式。
2.根據切線或者變化趨勢進行放縮，如上圖中指數和對數的切線，或者即便不是切線也可以放縮成和切線有相同趨勢的直線（在滿足不等關係恆成立的條件下）。
3.根據常用的不等關係放縮，如帶有根式的函數，我們可以利用均值不等式放縮成直線，例
例如：已知函數f(x)=e^x-2x+a有兩個零點，則求a的取值範圍
導數分析可知原函數先減後增，在x=ln2處取得最小值，若存在兩個零點，,必有f(ln2)<0，
所以大前提是a<2ln2-2,除此之外還需滿足兩個條件，如下：
這裡需要注意，在ln2的左側，函數單減，因此放縮之後的函數必定也是單調減函數，此時放縮的是e^x，但是這裡如果放縮方法是e^x≥x+1,則原函數f(x)≥-x+a+1，此時也符合減函數的要求，但是解不等式-x+a+1>0得x<a+1，這裡需要注意我們是要在ln2的左側找一點使得f(x)>0,但是如果採用這种放縮方法，找的的點是x=a+1，但是x=a+1並不一定在ln2的左側，所以放縮失當了，這裡是將e^x直接放縮成e^x>0，另外也可以放縮方法改成e^x>x，此時也是符合要求的，所以當採用一种放縮方法失效時，先考慮一下所採用的放縮方法在圖形上的位置關係，有時候需要適當放大有時候需要縮小放縮尺度。
在ln2的右側，函數單增，因此將原函數放縮成單調增函數，此時若對e^x進行放縮，如果放縮形式是直線函數的形式，則放縮之後的直線斜率加-2之後要保證為正數才可以，因為從原點出發y=e^x的斜線為y=ex，且e-2>0，所以可以放縮為e^x≥ex,因為e=2.7……，為了簡化計算，可以放縮成e^x>5/2x，當然可放縮的方法有很多，也可以試試其他的。
四、如何對放縮之後函數做檢驗才能避免放縮失當
這裡需要注意的有兩點，一是選取放縮方法時要保證原函數和放縮之後的函數具有相同的趨勢(增減性)，並且放縮之後的函數要儘可能的簡單，解不等式更要簡單，二是可選擇放縮的方法很多，放縮之後的函數也有很多個，因此最後放縮之後需要對放縮尺度做一次檢驗，例如上題中採用e^x≥x+1就不可以，採用e^x>x就可以，最後要看解出來的不等式和給定區間的位置關係是否合適。
這種題目沒有套路，講求靈活多變，確實很難把握，所幸高考中即便是用到放縮法法也不會太難，例如2016和2017年全國卷1理科中導數中的放縮法，很容易看出所需的放縮方法。