衝刺2018年高考數學, 典型例題分析8:導數求函數的單調性和極值

2021-01-08 吳國平數學教育

設函數f（x）=（x2-2x）lnx+（a-1/2）x2+2（1-a）x+a．

（Ⅰ）討論f（x）的單調性；

（Ⅱ）當a＜﹣2時，討論f（x）的零點個數．

考點分析：

利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值．

可導函數的極值表示函數在一點附近的情況，是在局部對函數值的比較；函數的最值是表示函數在一個區間上的情況，是對函數在整個區間上的函數值的比較．

求可導函數單調區間的一般步驟和方法

1、確定函數f(x)的定義域；

2、求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定義域內的一切實數根；

3、把函數f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然後用這些點把函數f(x)的定義區間分成若干個小區間；

4、確定f′(x)在各個開區間內的符號，根據f′(x)的符號判定函數f(x)在每個相應小開區間內的增減性。

題幹分析：

（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的範圍求出函數的單調區間即可；

（Ⅱ）求出f（e﹣a），由f（1）＞0，f（e﹣a）＜0，及f（x）的單調性，可知f（x）在（1，e﹣a）上有唯一零點，取x1=e﹣a+1/2，則x1＞e﹣a，根據函數的零點存在定理討論即可．

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