典型例題分析1：
已知函數f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx
（Ⅰ）求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．設函數h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），討論h（x）零點的個數．
解：（ I）f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）．
令f′（x）=0，得x1=0，x2=2/a．
∵a＞0，x1＜x2，
f′（x）及f（x）符號變化如下，
∴f（x）的極大值為f（0）=1，極小值為f（2/a）=8/a2﹣12/a2+1=﹣4/a2+1．
（ II）令g（x）=lnx=0，得x=1．
當0＜x＜1時，g（x）＜0；x=1時，g（x）=0；當x＞1時，g（x）＞0．
（1）當x＞1時，g（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上無零點．
所以h（x）=max{f（x），g（x）}在（1，+∞）上無零點．
（2）當x=1時，g（1）=0，
所以1為g（x）的一個零點．
f（1）=a﹣2，
①當a=2時，1是f（x）的一個零點．
所以當a=2時，h（x）=max{f（x），g（x）}有一個零點．
②當0＜a＜2時，h（x）=max{f（x），g（x）}有一個零點．
③當a＞2時，h（x）=max{f（x），g（x）}無零點．
（3）當0＜x＜1時，g（x）＜0，g（x）在（0，1）上無零點．
所以h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，1）上的零點個數就是f（x）在（0，1）上的零點個數．
當a＞0時，由（ I）可知f（x）在（0，2/a）上為減函數，在（2/a，+∞）上為增函數，
且f（0）=1，f（1）=a﹣2，f（2/a）=﹣4/a2+1=(a2-4)/a2．
①當2/a＞1，即0＜a＜2時，
f（x）在（0，1）上為減函數，且f（1）=a﹣2＜0，f（0）=1＞0．
所以f（x）在（0，1）上有1個零點，即h（x）有1個零點．
②當2/a=1，即a=2時，f（x）在（0，1）上為減函數，且f（1）=a﹣2=0，
所以f（x）在（0，1）上無零點，即h（x）無零點．
③當2/a＜1，即a＞2時，
f（x）在（0，2/a）上為減函數，在（2/a，1）上為增函數，
f（2/a）=﹣4/a2+1=(a2-4)/a2＞0，
所以f（x）在（0，1）上無零點．即h（x）無零點．
綜上，當0＜a＜2時，h（x）有2個零點，
當a=2時，h（x）有1個零點，當a＞2時，h（x）無零點．
考點分析：
利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的極值．
題幹分析;
（I）令f′（x）=0求出f（x）的極值點，得出f（x）的單調性與單調區間，從而得出f（x）的極值；
（II）對x和a的範圍進行討論得出f（x），g（x）在（0，+∞）上的單調性，利用單調性及最值判斷f（x），g（x）的零點個數，從而得出h（x）的零點個數．
典型例題分析2：
已知函數f（x）=lnx+ax2/2+x，a∈R
（Ⅰ）若f（1）=0，求函數f（x）的最大值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax2﹣ax+1，討論函數g（x）的單調區間；
（Ⅲ）若a=4，正實數x1，x2滿足f（x1）+f（x2）+3x1x2=0，證明x1+x2≥1/2．
解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx+ax2/2+x，f（1）=0，
∴a=﹣2，且x＞0．
∴f（x）=lnx﹣x2+x，
∴f′（x）=-（2x2-x-1）/x，
當f′（x）＜0，即x＞1時，函數f（x）的單調遞減，
當f′（x）＞0，即0＜x＜1時，函數f（x）的單調遞增，
∴x=1時，函數f（x）取得極大值，也是最大值0；
（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣ax2﹣ax+1=lnx﹣ax2/2+（1﹣a）x+1，
所以g′（x）=1/x﹣ax+（1﹣a）={-ax2+（1-a）x+1}/x，
當a≤0時，因為x＞0，所以g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，+∞）上是遞增函數，
當a＞0時，g′（x）=0，得x=1/a，
所以當x∈（0，1/a）時，g′（x）＞0；
當x∈（1/a，+∞）時，g′（x）＜0，
因此函數g（x）在x∈（0，1/a）是增函數，在（1/a，+∞）是減函數．
綜上，當a≤0時，函數g（x）的遞增區間是（0，+∞），無遞減區間；
當a＞0時，函數g（x）的遞增區間是（0，1/a），遞減區間是（1/a，+∞）．
證明：（Ⅲ）∵a=4，
∴f（x）=lnx+2x2+x，
∴f（x1）+f（x2）+3x1x2=lnx1+2x12+x1+lnx2+2x22+3x1x2+x2
=2（x1+x2）2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2
令g（x）=lnx﹣x，則g′（x）=1/x﹣1，
∴0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
x＞1時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，
∴g（x）max=g（1）=﹣1，
∴f（x1）+f（x2）+3x1x2≤2（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1，
即2（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，
又∵x1，x2是正實數，
∴x1+x2≥1/2．
考點分析：
利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．
題幹分析：
（Ⅰ）用f（1）=0，確定a的值，求導函數，確定函數的單調性，即可求函數f（x）的最大值；
（Ⅱ）利用導數的正負，分類討論，即可討論函數g（x）的單調區間；
（Ⅲ）將代數式f（x1）+f（x2）+3x1x2放縮，構造關於x1+x2的一元二次不等式，解不等式即可．