重點一 《函數、導數、不等式》
一、知識要點
1．映射：注意 ①第一個集合中的元素必須有象；②一對一，或多對一。
2．函數值域的求法：
①分析法 ；②配方法 ；③判別式法 ；④利用函數單調性 ；
⑤換元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用數形結合或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）；⑧利用函數有界性（ 、 、 等）；⑨導數法
3．複合函數的有關問題
（1）複合函數定義域求法：
① 若f(x)的定義域為［a，b］,則複合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出
② 若f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當於x∈[a,b]時，求g(x)的值域。
（2）複合函數單調性的判定：
①首先將原函數 分解為基本函數：內函數 與外函數 ；
②分別研究內、外函數在各自定義域內的單調性；
③根據"同性則增，異性則減"來判斷原函數在其定義域內的單調性。
注意：外函數 的定義域是內函數 的值域。
4．分段函數：值域（最值）、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。
5．函數的奇偶性
⑴函數的定義域關於原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件；
⑵ 是奇函數 ；
⑶ 是偶函數 ；
⑷奇函數 在原點有定義，則 ；
⑸在關於原點對稱的單調區間內：奇函數有相同的單調性，偶函數有相反的單調性；
（6）若所給函數的解析式較為複雜，應先等價變形，再判斷其奇偶性；
6．函數的單調性
⑴單調性的定義： 在區間 上是增（減）函數 當 時 ；
⑵單調性的判定定義法：注意：一般要將式子 化為幾個因式作積或作商的形式，以利於判斷符號；②導數法（見導數部分）；③複合函數法（見2 （2））；④圖像法。
註：證明單調性主要用定義法和導數法。
7．函數的周期性
(1)周期性的定義：對定義域內的任意 ，若有 （其中 為非零常數），則稱函數 為周期函數， 為它的一個周期。所有正周期中最小的稱為函數的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函數的周期
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；
⑶函數周期的判定：①定義法（試值） ②圖像法 ③公式法（利用（2）中結論）
⑷與周期有關的結論：
① 或 的周期為 ；
② 的圖象關於點 中心對稱 周期2 ；
③ 的圖象關於直線 軸對稱 周期為2 ；
④ 的圖象關於點 中心對稱，直線 軸對稱 周期4 ；
8．基本初等函數的圖像與性質
⑴冪函數： （ ；⑵指數函數： ；
⑶對數函數: ；⑷正弦函數: ；
⑸餘弦函數： ；（6）正切函數： ；⑺一元二次函數： ；
⑻其它常用函數：①正比例函數： ；
②反比例函數： ；特別的 ，函數 ；
9．二次函數：
⑴解析式：
①一般式： ；
②頂點式： ， 為頂點；
③零點式： 。
⑵二次函數問題解決需考慮的因素：
①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與坐標軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號。
⑶二次函數問題解決方法：①數形結合；②分類討論。
10．函數圖象
⑴圖象作法 ：①描點法（注意三角函數的五點作圖）②圖象變換法③導數法
⑵圖象變換：
① 平移變換：ⅰ ， ---左"+"右"-"；
ⅱ ---上"+"下"-"；
② 伸縮變換：
ⅰ ， （ ---縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的 倍；
ⅱ ， （ ---橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的 倍；
③ 對稱變換：ⅰ ；ⅱ ；
ⅲ ； ⅳ ；
④ 翻轉變換：
ⅰ ---右不動，右向左翻（ 在 左側圖象去掉）；
ⅱ ---上不動，下向上翻（| |在 下面無圖象）；
11．函數圖象（曲線）對稱性的證明
(1)證明函數 圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；
（2）證明函數 與 圖象的對稱性，即證明 圖象上任意點關於對稱中心（對稱軸）的對稱點在 的圖象上，反之亦然；
註：①曲線C1:f(x,y)=0關於點（a,b）的對稱曲線C2方程為：f(2a－x,2b－y)=0;
②曲線C1:f(x,y)=0關於直線x=a的對稱曲線C2方程為：f(2a－x, y)=0;
③曲線C1：f(x,y)=0,關於y=x+a(或y=－x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);
④f(a+x)=f(b－x) （x∈R） y=f(x)圖像關於直線x= 對稱；
特別地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R） y=f(x)圖像關於直線x=a對稱；
⑤函數y=f(x－a)與y=f(b－x)的圖像關於直線x= 對稱；
12．函數零點的求法：⑴直接法（求 的根）；⑵圖象法；⑶二分法.
13．導數
⑴導數定義：f(x)在點x0處的導數記作 ；
⑵常見函數的導數公式:
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ 。
⑶導數的四則運算法則：
⑷（理科）複合函數的導數：
⑸導數的應用：
①利用導數求切線：注意：ⅰ所給點是切點嗎？ⅱ所求的是"在"還是"過"該點的切線？
②利用導數判斷函數單調性：
ⅰ 是增函數；ⅱ 為減函數；ⅲ 為常數；
③利用導數求極值：ⅰ求導數 ；ⅱ求方程 的根；ⅲ列表得極值。
④利用導數最大值與最小值：ⅰ求的極值；ⅱ求區間端點值（如果有）；ⅲ得最值。
14、不等式
（1）均值不等式： 注意：①一正二定三相等；②變形，
（2）不等式等證明（主要）方法：⑴比較法：作差或作比；⑵綜合法；⑶分析法。
（3）一元二次不等式的解法：借鑑圖像先看開口，在看判別式，在解根，在討論根的大小以及與定義域的關係。
二、考題再現
08年江蘇高考
8.直線 是曲線 的一條切線，則實數 。
14. 對於 總有 成立，則 = 。
20.若 ， ， 為常數，函數f (x)定義為：對每個給定的實數x，
（Ⅰ）求 對所有實數x成立的充要條件（用 表示）；
（Ⅱ）設 為兩實數，滿足 ，且 ∈ ,若 ，求證： 在區間 上的單調增區間的長度之和為 （閉區間 的長度定義為 ）．
09年江蘇高考
3．函數 的單調減區間為 .
9．在平面直角坐標系 中，點P在曲線 上，且在第二象限內，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為 .
10.已知 ，函數 ，若實數 滿足 ，則 的大小關係為 .
20．設 為 實數，函數 .
(1) 若 ，求 的取值範圍；（2）求 的最小值；
（3） 設函數 ，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式 的解集.
10年江蘇高考
5、設函數f(x)=x(ex+ae-x)(x R)是偶函數，則實數a=___________ 。
8、函數y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數，a1=16，則a1+a3+a5=________
11、已知函數 ,則滿足不等式 的x的範圍是___ _。
12、設實數x,y滿足3≤ ≤8，4≤ ≤9，則 的最大值是 。
14、將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行於底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記 ,則S的最小值是__ 。
20、設 是定義在區間 上的函數，其導函數為 。如果存在實數 和函數 ，其中 對任意的 都有 >0，使得 ，則稱函數 具有性質 。
(1)設函數 ，其中 為實數。(i)求證：函數 具有性質 ； (ii)求函數 的單調區間。
(2)已知函數 具有性質 。給定 設 為實數， ， ，且 ，若| |<| |，求 的取值範圍。
11年江蘇高考
8、在平面直角坐標系 中，過坐標原點的一條直線與函數 的圖象交於P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是________
12、在平面直角坐標系 中，已知點P是函數 的圖象上的動點，該圖象在P處的切線 交y軸於點M，過點P作 的垂線交y軸於點N，設線段MN的中點的縱坐標為t，則t的最大值是_____________
11、已知實數 ，函數 ，若 ，則a的值為________
8、在平面直角坐標系 中，過坐標原點的一條直線與函數 的圖象交於P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是________
19、已知a，b是實數，函數 和 是 的導函數，若 在區間I上恆成立，則稱 和 在區間I上單調性一致
（1）設 ，若函數 和 在區間 上單調性一致,求實數b的取值範圍；
（2）設 且 ，若函數 和 在以a， b為端點的開區間上單調性一致，求|a-b|的最大值。
12年江蘇高考
5．函數 的定義域為 ．
10．設 是定義在 上且周期為2的函數，在區間 上， 其中 ．
若 ，則 的值為 ．
13．已知函數 的值域為 ，若關於x的不等式 的解集為 ，則實數c的值為 ．
14．已知正數 滿足： 則 的取值範圍是 ．
18．若函數 在 處取得極大值或極小值，則稱 為函數 的極值點。
已知 是實數，1和 是函數 的兩個極值點．
（1）求 和 的值； （2）設函數 的導函數 ，求 的極值點；
（3）設 ，其中 ，求函數 的零點個數．
13年江蘇高考
9．拋物線 在 處的切線與兩坐標軸圍成三角形區域為 (包含三角形內部和邊界) ．若點 是區域 內的任意一點，則 的取值範圍是 ．
11．已知 是定義在 上的奇函數。當 時， ，則不等式 的解集用區間表示為 ．
13．在平面直角坐標系 中，設定點 ， 是函數 （ ）圖象上一動點，若點 之間的最短距離為 ，則滿足條件的實數 的所有值為 ．
20．（本小題滿分16分）設函數 ， ，其中 為實數．
（1）若 在 上是單調減函數，且 在 上有最小值，求 的取值範圍；
（2）若 在 上是單調增函數，試求 的零點個數，並證明你的結論．
14年江蘇高考
1 0．已知函數 ，若對任意 ，都有 成立，則實數m的取值範圍是 ．
11．在平面直角坐標系xOy中，若曲線 ( 為常數)過點 ，且該曲線在點P處的切線與直線 平行，則 的值是 ．
13．已知 是定義在R上且周期為3的函數，當 時， ．若函數 在區間 上有10個零點(互不相同)，則實數a的取值範圍是 ．
19．(本小題滿分1 6分)已知函數 其中e是自然對數的底數．
（1）證明： 是 上的偶函數；
（2）若關於x的不等式 在 上恆成立，求實數m的取值範圍；
（3）已知正數a滿足：存在 ，使得 成立．試比較 與 的大小，並證明你的結論．
15年江蘇高考
7、不等式 的解集為________.
13、已知函數 ， ，則方程 實根的個數為 .
所以 ，所以直線AB方程為 或 .
17.（本小題滿分16分）
已知函數 .
（1）試討論 的單調性；
（2）若 （實數c是a與無關的常數），當函數 有三個不同的零點時，a的取值範圍恰好是 ，求c的值.
16年江蘇高考
5. 函數y= 的定義域是 .
11. 設 是定義在R上且周期為2的函數，在區間[ )上， 其中 若 ，則 的值是 .
19. （本小題滿分16分）
已知函數 .
（1）設 .①求方程 =2的根；
②若對任意 ,不等式 恆成立，求實數m的最大值；
（2）若 ，函數 有且只有1個零點，求ab的值.
三 、考題預測
1、已知集合 為函數 的定義域.，函數 的定義域為Q，
如果 ，則實數a的取值範圍為 。
2、已知函數 . 如果 ，則實數 等於_________。
3、已知函數f（x）=ax+ka-x，其中a＞0且a≠1，k為常數，若f（x）在R上既是奇函數，又是減函數，則a+k的取值範圍是 。
4、（1）已知函數f（x）=x2-m是定義在區間[-3-m，m2-m]上的奇函數，則f（m）=______________。
（2）冪函數y＝xa，當a取不同的正數時，在區間[0,1]上它們的圖象是一族美麗的曲
線(如圖)．設點A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數y＝xα，y＝xβ
的圖象三等分，即有|BM|＝|MN|＝|NA|.那麼，αβ＝_________。
5、已知函數f（x）= 為奇函數，f（1）＜f（3），且不等式0≤f（x）≤ 的解集為[﹣2，﹣1]∪[2，4]，則f（x）=_____________。