典型例題分析：
已知函數f（x）=2x/lnx．
（1）求曲線y=f（x）與直線2x+y=0垂直的切線方程；
（2）求f（x）的單調遞減區間；
（3）若存在x0∈[e，+∞），
使函數g（x）=aelnx+x2/2－（a+e）/2lnxf（x）≤a成立，
求實數a的取值範圍．
解：（1）f（x）=2x/lnx，f′（x）=2（lnx－1）/（lnx）2，
設出切點坐標（a，2a/lna），
而曲線y=f（x）與直線2x+y=0垂直的切線的斜率k=1/2，
故2（lna－1）/（lna）2=1/2，
解得：a=e2，
故切點坐標是：（e2，e2），
故切線方程是：y﹣e2=（x﹣e2）/2，
即x/2﹣y+e2/2=0；
（2）f′（x）=2（lnx－1）/（lnx）2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜1或1＜x＜e，
所以函數f（x）的單調遞減區間為（0，1）和（1，e）；
（3）因為g（x）=aelnx+x2/2﹣（a+e）x，
由已知，若存在x0∈[e，+∞），
使函數g（x）=aelnx+x2/2﹣（a+e）/2lnxf（x）≤a成立，
則只需滿足當x∈[e，+∞），g（x）min≤a即可，
又g（x）=aelnx+x2/2﹣（a+e）x，
則g′（x）=（x－a）（x－e）/x，
a≤e，則g′（x）≥0在x∈[e，+∞）上恆成立，
∴g（x）在[e，+∞）上單調遞增，
∴g（x）min=g（e）=﹣e2/2，
∴a≥﹣e2/2，
∵a≤e，
∴﹣e2/2≤a≤e，
a＞e，則g（x）在[e，a）上單調遞減，在[a，+∞）上單調遞增，
∴g（x）在[e，+∞）上的最小值是g（a），
∵g（a）＜g（e），a＞e，
∴滿足題意，
綜上所述，a≥﹣e2/2．
考點分析：
利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究曲線上某點切線方程．
題幹分析：
（1）設出切點坐標，求出切線方程即可；
（2）求出函數的導數，由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，即可求出單調遞減區間；
（3）由已知，若存在x0∈[e，+∞），使函數g（x）≤a成立，則只需滿足當x∈[e，+∞），g（x）min≤a即可．