題型分析
如下圖中的題型，詐看上去和方程零點沒有關係，但是很多的時候當一個方程求完導數後，得到新的方程時卻無法判斷它圖像的變化，而此時就可以根據求導後得到的方程的零點來判斷原方程的單調性。
第一步
第一步就是要求出關於k的不等式。
對於任意的a∈R，x>0，都有f(x)>g(x)成立，所以可以將兩個函數做減e^(2x)-2ae^x+2a^2>2alnx-(lnx)^2+k^2/8(x>0)，看到了a^2和a就可以將這個不等式看成一元二次方程的不等式，整理就可以得到關於a的二元一次不等式，即2a^2-2a(e^x+lnx)+e^(2x)+(lnx)^2-k^2/8>0恆成立；
設Q(a)=2a^2-2a(e^x+lnx)+e^(2x)+(lnx)^2-k^2/8，則Q(a)就是一個開口向上的一元二次方程；
又因為Q(a)>0恆成立，所以該一元二次方程沒有實數根，所以△<0；
所以就可以得到關於k和x的不等式，即△=4(e^x+lnx)^2-4×2[e^(2x)+(lnx)^2-k^2/8］<0，整理得（e^x-lnx）^2>k^2/4。
第二步
第二步就是對（e^x-lnx）^2>k^2/4進行去平方。
這裡我們要記住一個結論，即e^x>x>lnx在x>0上恆成立。
證明的過程：設h(x)=lnx-x，對h(x)求導得到一次導數h＇(x)=(1-x)/x，令x=1，所以得到h(x)在（1，+∞）上是減函數，在（0,1）上是增函數，且h(1)=-1<0，所以有h(x)≤h(1)<0，所以lnx<x；
又因為y=e^x是增函數，所以e^(lnx)<e^x，即x<e^x；
所以得到lnx<x<e^x。
所以上述e^x-lnx>0在x>0上是恆成立的，這裡又求的是k的正數值，所以（e^x-lnx）^2>k^2/4去平方就得到e^x-lnx>k/2；
所以上述問題就可以轉化為對於任意的a∈R來說都有e^x-lnx>k/2恆成立，求k得最大正整數值。
第三步
第三步就是運用方程的零點求出e^x-lnx的最小值，從而求出k最大正整數值。
設t(x)=e^x-lnx，要想求出該方程的最小值就要通過求導來了解該方程的單調性；
一次導數t＇(x)=e^x-1/x，一次導數t＇(x)不好判斷和零的大小關係，只知道一次導數t＇(x)在（0，+∞）是一個增函數，但是我們可以通過再次求導來找出一次導數t＇(x)零點的個數以及零點的範圍，即二次導數t＇＇(x)=e^x+1/x^2，這可以看出e^x+1/x^2>0恆成立，所以我們知道一次導數t＇(x)是單調遞增函數；
又因為一次導數值t＇(1/2)=√e-2<0和一次導數值t＇(2/3)=e^(2/3)-3/2=(e^2)^(1/3)-(27/8)^(1/3)>0，所以一次導數t＇(x)在（0，+∞）上有唯一的零點x0，且x0∈(1/2,2/3)，也可以得到e^x0=1/x0（下面會用到）；
所以當x∈(0，x0)時，一次導數t＇(x)<0，則t(x)為減函數；
當x∈(x0，+∞)時，一次導數t＇(x)>0，則t(x)為增函數；
又因為t(x)是先減後增函數，所以t(x)有最小值，這個最小值就是x0；
所以有t(x)min=t(x0)=e^x0-lnx0=1/x0+x0，x0∈(1/2,2/3)；
又因為t(x0)=1/x0+x0在（1/2,2/3）是減函數，所以t(x0)的值域就是（13/6，5/2）；
又因為t(x0)>k/2，即k/2≤13/6，且k為正整數，所以k≤4，所以k得最大值為4。
上述是詳細講解方程零點在綜合題中的運用，希望大家喜歡，不喜歡不要踩，謝謝。