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0. 立體幾何的基本問題概覽（回顧）
熟練掌握直線方程有關的基本問題之一般解法與技巧是正確、高效地解決該模塊綜合應用問題的必備條件。
因此，進入本文主題之前，我們一起來回顧一下前面發表的直線方程基礎應用文章——基礎應用即為基本問題的求解一般方法與技巧說明，屬『基本技能』範疇。直線方程基本問題的整體視圖如下：
一般地，直線方程有關綜合應用問題都可分解為上圖的一個或多個基本問題來解決的。
因此，只要理解並熟記該整體視圖（「廬山真面目」），並熟練掌握每個基本問題的求解一般方法與技巧（即基本技能），有關的綜合應用問題將迎刃而解。反之，只要還有一個基本問題未熟練掌握，解答某些題型時就會掉鏈子。
1. 解題要領說明
1) 要點1：基礎知識
熟練掌直線方程所有基礎知識，要點及其結構圖如下：
2) 要點2：基礎應用
熟練掌握以下「直線方程」有關的基礎應用：
① 求解直線方程解析式（含其逆用去求參數，如斜率、截距等）
② 判定直線間的位置關係
③ 求解點到直線距離
④ 求（關於點或直線的）對稱圖形
⑤ 求（點或直線間的）對稱中心和對稱軸
其中的解題一般方法與技巧(即基本技能)是關鍵！詳見相關文章。
3) 要點3：典型題型及其要領
a)定點問題
若已知或求直線方程過定點(x0, y0)，則該方程的主要特點為：
① 含參。如此，該方程才能代表一簇直線。
② 該方程表示的一簇直線交於一個定點(x0, y0)——即無論該方程的參數取任何值，所得的直線都過定點(x0, y0)。換句話說，把定點(x0, y0)代入方程後，必定得到形如0a=0的含參式（這裡a為原方程參數。當參數有兩個以上時類推即可，如0a+0b=0）。
提示：不理解「0a=0」的同學，需要再學習初中相關基礎內容——如何使ax=b中的x有無窮解、唯一解和無解。
解題思路有：
① 直接法
由上述特徵分析可知，定點與參數取值無關，所以最簡單、直接的方法就是代入最方便運算的兩個參數具體值，然後聯立方程求解。
② 分離參數法
把參數當成「未知數」，合併同類項後，為了滿足再任意參數值時方程式恆成立，則所有係數均應為0（即0a=0時該式恆成立，與a取值無關）。
提示1：當不同(個數或類型)的參數同時出現在一個代數式中，解答原理是一樣的，即各自分析即可。
提示2：此法也同樣適用於非直線的含參代數式過定點或恆成立的題型，如loga^1=0、a^0=1等恆成立（由指數和對數的定義與性質可知）。
b)對稱問題
對稱問題，從名字就知道離不開圖像，因此為了便於理解、分析和解題，關鍵是畫好圖、用好圖。尤其多次或多個對稱混在一起時，更要理清它們得位置關係！
c)最值問題
與直線相關的最值問題，求解方法很多，而很多時候『數形結合法』是求解這類問題的最便捷地的方法。下表是一些常見的範式：
提示：應用數形結合法的關鍵在於做好這三步：圖畫、以形助數與以數助形。
2. 典型示例
例1 已知直線I: kx-y+1+2k=0
(1) 證明直線過定點
(2) 若直線l不經過第四象限，求k的取值範圍
(3) 若直線l交x軸負半軸於點A，交y軸正半軸於點B，O為坐標原點，設△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．
解：(1)直線l的方程可化為y=k（x+2）+1，（提示：點斜式）
故無論k取何值，直線l總過定點（﹣2，1）。
（提示：更一般地，合併同類項後原式變為（y-1）- k（x+2）= 0，由y-1=0，x+2=0也可得解）
講解：
① 本題(1)問中可利用分離參數法求證直線過定點，簡捷明了。
② 本題(2)、(3)問為直線相關的參數範圍和最值題型。這類題型求解一般思路：
a) 找出或列出相關的直線方程（可能含待定係數）；
b) 將有關的等量關係（含幾何量關係）轉化為與待解問題相關的代數關係；
c) 列式求解。
③ 直線方程解析式相關問題的解題要點
a) 求直線方程解析式或與其相關的問題(如參數)是解析幾何常見的題型之一。恰當選擇方程的形式是第一步，也是關鍵的一步——很多時候解題過程的簡或繁就在這一念之間；
b) 然後釆用待定係數法確定方程式，或代入已知量求解參數值。
c) 在求直線方程時，要注意一些易錯點，如斜率是否存在、利用截距式時截距是否為0、截距與距離概念辨析等。
④ 選擇直線方程形式的小技巧 (複習)
一般地，已知一點通常選擇點斜式、已知斜率選擇斜截式或點斜式、已知在兩坐標軸上的截距用截距式、已知兩點用兩點式。不要忘記單獨分析斜率不存在、斜率為0、各截距為0的情況。
例2 函數y=loga（x+3）-1（a＞0，a≠1）的圖象恆過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，求1/m+1/n的最小值。
講解：
例3 一條光線從點A（-4，-2）射出，到直線y=x上的B點後被直線y=x反射到y軸上的C點，又被y軸反射，這時反射光線恰好過點D（-1，6）．求BC所在直線的方程。
解：如圖，A（-4，-2），D（-1，6），由對稱性求得：
A（-4，-2）關於直線y=x的對稱點A'（-2，-4），
D關於y軸的對稱點D』（1，6），
所以，由入射光線和反射光線的性質可得過A'D'的直線方程，也即為BC所在直線的方程。由直線方程的兩點式得：
(y+4)/(6+4) =(x+2)/(1+2)
整理得：10x-3y+8=0。
講解：
① 本題為直線方程的典型題型，涉及到點關於直線的對稱、求直線方程解析式兩個基礎應用。
② 數學中，光線的反射問題實質是關於直線的基本問題。解答這類題，首先要理解入射和反射光線的性質(如折射的量比關係等)，尤其要抓住「反射線上某點的鏡像點（即對稱點）在入射線（反向延長線上）、入射線上某點的鏡像點（即對稱點）在反射線（反向延長線上）」這一要點！
例4 設x, y滿足x-y+2=0, 則√(x^2 + y^2 ) 的最小值為___；若x, y又滿足y>4-x,則y/x的取值範圍____。
解：（提示：選填題時，只要適用，一般應把『數形結合法』作為此題的『本手』）
講解：
① 第1問也可用配方法來求解——就本題而言，也是簡單可行的方法。
② 第2問y/x形式的最值問題常轉化為斜率問題，再利用數形結合思想去求解。這是這類問題常用的高效解題思路。
例5已知兩定點A（-2，1），B（1，3），動點P在直線x-y+1=0上，當|PA|+|PB|取最小值時，這個最小值為( )。
A.√5, B.3 C. √13, D. √17 。
講解：
① 本題為數形結合思想的典型應用。在利用此方法解題時，抓住關鍵一點：準確地畫出圖像，並結合圖像正確地在幾何關係與代數關係建立聯繫(往往不同類型的關係或量之間存在轉化)。
② 類似求線段之和（或之差）且與直線(方程)相關的題型中，經常考慮把直線當作對稱軸來構思解題路徑的可行性；而且，還常用到三角形的定理與推論「兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊」。
例6 已知f（x）=log2^(x+1)，設a＞b＞c＞0，則f(a)/a、f(b)/b、f(c)/c的大小關係是（）。
A．f(a)/a>f(b)/b>f(c)/c， B. f(c)/c>f(b)/b>f(a)/a,
C. f(b)/b>f(c)/c >f(a)/a, D. f(a)/a>f(c)/c>f(b)/b。
解：由題意可得，f(a)/a、f(b)/b、f(c)/c分別看作函數f(x)=log2^(x+1)圖象上的點(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))與原點連線的斜率，
所以，由圖可直觀地得出，當a＞b＞c＞0時，
f(a)/a < f(b)/b < f(c)/c
故選B.．
講解：
① 本題為數形結合思想的典型應用，否則這題還真不好處理。
② 一般地，針對分式類型的最值、大小比較題型，經常考慮轉換為斜率問題的可行性。