直線與圓錐曲線位置關係有關技能,助你有效攻克相關高考高頻題型

2020-12-05 高考自主學習課堂

溫馨提示：本講屬於高中數學圓錐曲線專題——是繼本號原創之導數專題之後，又一個在公眾平臺上發布的、用於攻克高考壓軸大題的精品課程！

在本講開始之前，先來看一下近五年高考中圓錐曲線有關題目的命題特點。近五年高考所有相關題目列舉如下：

① 2016年高考1卷理數的圓錐曲線有關題目

② 2017年高考1卷理數的圓錐曲線有關題目

③ 2018年高考1卷理數的圓錐曲線有關題目

④ 2019年高考1卷理數的圓錐曲線有關題目

⑤ 2020年高考1卷理數的圓錐曲線有關題目

由上述近五年高考的圓錐曲線有關題目可知，其命題一般有以下顯著特點：

① 有兩道小題

或者為兩道選擇題，或者為選擇題和填空題各一道。而且，題型多為直線與圓錐曲線的綜合應用，偶爾為圓錐曲線基本題型或圓與圓錐曲線的綜合應用。

② 有一道壓軸大題

題型一般為直線與圓錐曲線的綜合應用。

所以，熟練、正確地理解和運用直線與圓錐曲線位置關係有關必備知識與技能，是有效攻克高考圓錐曲線有關題目(20+分)的先決條件！

下面本文將結合典型例題，系統地分析和總結橢圓、雙曲線、拋物線與直線綜合問題中與位置關係有關的必備技能（即一般或通用方法與技巧），讓你學一遍就能系統、徹底地搞定這個關鍵問題，遠勝盲目刷題、零碎複習之效果。

1) 幾何法

不同於圓與直線位置關係問題中，可通過圓心到直線的距離來便捷地判定二者的位置關係，在圓錐曲線與直線綜合的有關問題中，一般只在一些特殊情況（如已知點的位置或可知圖形經過的定點）下，才利用有關幾何性質與方法（比如分析點在圖形上、在凹的一側或凸的一側、在內部或外部等）來判定或確認二者的位置關係。

2) 代數法

類似於圓與直線位置關係問題，代數法求解圓錐曲線與直線位置關係有關問題時，也是聯立直線方程與圓錐曲線方程（簡稱聯立方程）來求解。

具體地，求解橢圓與直線綜合、拋物線與直線綜合、或直線與漸進線不平行時雙曲線與直線綜合的有關問題，一般先聯立方程、再通過來判定或確認二者的位置關係；而求解直線與漸進線平行或重回時雙曲線與直線綜合的有關問題，因聯立方程後得到的是一次方程，所以直接通過其有解或無解的情況來判定或確定即可；當直線與對稱軸平行時，直線與拋物線必有且只有一個交點。有關詳細內容，已系統、結構化地歸納與總結在下表中。

相關焦點

  • 一組必備技能!是高效求解圓錐曲線有關選填題、壓軸大題的立足點
    4) 弦中點有關問題弦中點也是圓錐曲線與直線綜合應用中會涉及的一個重要圖形元素。高考中，在與中點有關的圓錐曲線與直線綜合應用中，求弦中點有關問題往往是整個解題思路中的重要一環。解決上述基本問題的必備技能（一般方法與技巧）1) 求解圓錐曲線方程有關問題提示：雖然圓錐曲線方程有關基礎題的題設形式較靈活，但其解題方法一般都是有關概念與性質的基本應用，比較簡單，所以這裡只重點講述幾個較常見的題型
  • 熟練掌握這些運算技巧,是有效攻克高考圓錐曲線壓軸題的先決條件
    溫馨提示：面對圓錐曲線有關壓軸題，同學們學通上兩講後可「知易」，而學通本講後則有望「行易」。知易行易，即使不參加昂貴的課外補習，也能助你更穩地拿下圓錐曲線有關的高考22分！學通本專題的上兩講，今後面對高考圓錐曲線有關壓軸題時，同學們就能準確、快速地理解出題人的考查意圖與題意並形成一個具體、可行的解題思路——讓你覺得這道壓軸題並不難。但是，準確、快速地形成一個具體、可行的解題思路，並不意味著同學們肯定能快速、準確地解答出來。正所謂「知易行難」，求解高考圓錐曲線有關壓軸題很多時候也是如此。運算是高考圓錐曲線有關壓軸題的另一個難點與攔路虎。
  • 高中數學知識點總結,圓錐曲線題型常用方法的總結
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  • 高考圓錐曲線選填題,把握解題要領,助你解得速度更快、失誤更少
    在第4講中，我們已知近五年高考中，每年都有兩道圓錐曲線應用有關小題（共10分）。本講將重點歸納與總結近五年高考選填題的題型及其優解方法，以期幫助同學們能解得又快又對。1.圓錐曲線應用模型在進入主題之前，我們先來看一下圓錐曲線應用模型（如下圖）：無論是圓錐曲線應用有關高考選填題還是壓軸大題，其解題思路的的落足點必定是圓錐曲線的雙基——本專題前5講已系統地歸納和總結了雙基有關知識要點和常用技能
  • 學好直線與圓錐曲線,先從最簡單的基礎題型開始
    高考數學，學好直線與圓錐曲線，先從最簡單的基礎題型開始。題目內容：已知橢圓C：x^2/a^2 ＋y^2/b^2 ＝1（a＞b＞0）的一個頂點為A(2,0)，離心率為√2/2， 直線y＝k(x－1)與橢圓C交與不同的兩點M,N。
  • 衝刺2018年高考數學,典型例題分析39:直線與橢圓的位置關係 - 吳國...
    已知直線y=x﹣1過橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的右焦點，且橢圓C的離心率為1/3．考點分析：直線與橢圓的位置關係．題幹分析：（Ⅰ）直線y=x﹣1與x軸的交點坐標為（1，0），得橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的半焦距c．又離心率e=c/a=1/3，得a2=9，b2=8．即可求出橢圓方程．
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    在歷年高考數學當中，與圓錐曲線有關的綜合題型一直是高考重難點和熱點問題之一，也是高中數學教學內容當中的難點問題。解決此類題型切入口寬，靈活程度大，計算繁瑣，費時費力，正確率低。極坐標和參數方程是高中數學當中重要的知識點，也是高考數學考查的一個重要對象。在平時的數學學習過程中，我們要學會對極坐標和參數方程內容在高考中的考查和應用，進行了一個全面總結，讓自己對相關考點和題型做到心裡有數。
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    圓錐曲線是高考壓軸題必考題型之一，所佔整張高考試卷的分數在25~30分左右，是高考題型所佔比最大的模塊。根據2015年~2019年近5年的全國卷一考點分布，基本是選擇題1道、填空題1道、解答題1道，分值為22分。選擇和填空題相對簡單，解題題則為較難的壓軸題。
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    高考數學經典必考題型高中數學題型眾多，有哪些是高考數學必考的經典題型?高考數學的高分經驗就是多做經典高考數學題型，把這些必考題弄會，高考數學的分一定會提高!下文有途網小編就給大家整理了《高考數學經典必考題型》，僅供大家參考查閱!
  • 吳國平:巧學+方法=攻破直線與圓錐曲線綜合問題
    如直線與圓錐曲線的綜合問題就是高考數學常考的壓軸題類型之一，此類問題有一定的難度，在高考中大部分都是以難題、壓軸題的形式出現，考點主要涉及位置關係的判定、弦長問題、最值問題、軌跡問題、對稱問題等。同時直線與圓錐曲線的綜合問題更加考查一個學生數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法掌握情況，這就要求我們具有一定的分析問題和解決問題的能力。
  • 備戰2018數學高考|最新模擬題選講(圓錐曲線定點定值、存在性)
    先前分享了在高考中有關圓錐曲線的選擇題、填空題，它的考試內容一般是涉及離心率及雙曲線漸近線知識，這個專題分享的是有關圓錐曲線的解答題，一般考察的是直線與圓錐曲線的關係，涉及定點、定值及存在性問題，每年必考題型，應引起重視。
  • 揭示高考圓錐曲線壓軸題之共性特徵,通用解題思路使難題變得簡單
    溫馨提示：本號原創之導數、圓錐曲線等專題課程，可助您有效解決碎片化學習、盲目刷題、無效刷題等頑固問題，讓您刷題時事半功倍、考試時胸有成竹！學通一遍即可立竿見影，不可錯過了解！從上面3道高考壓軸真題的題設（表象）來看，差異很大，尤其從題目第2問（重點/難點所在）設問來看，所求問題完全不同——2017年是直線方程有關定點問題、2018是角度問題而2019是線段長問題，即使是圓錐曲線部分的描述也不一樣，似乎沒什麼共同點。果真如此嗎？非也！
  • 高中數學圓錐曲線常考題型和技巧+90道突破高分必做題,含答案
    下面講一下，圓錐曲線常考的題型和一些技巧圓錐曲線常考題型 在講題型之前，先說一下，圓錐曲線的常見考點，只要它是圓錐曲線，無論是選擇題、填空題還是解答題都逃不過真相定理，不過這6大考點。）5.雙曲線的簡單性質（標準方程，焦點，焦距，對稱，對稱，軸，離心率，準線，漸近線）6.直線與圓錐曲線的關係（面積，距離，關係）各位同學在研究題型和解題技巧之前一定要先把考點裡面的公式和定理都搞明白，一定要知道所有題型都是根據這些公式和定理而構成的
  • 高考壓軸題型「圓錐曲線」——待定係數求方程,幾何轉至代數中
    圓錐曲線試題在每年高考中失分現象十分嚴重，這已經成為幾乎所有高三學生的心頭痛，究其原因是考生對圓錐曲線中的易錯點、易混點、易漏點把握不好或對數學思想方法應用不當，或思維不縝密、運算錯誤、解題失策等。幾何分析法，利用圖形結合圓錐曲線的定義與幾何性質，分析圖中已知量與未知量之間的關係，列出關於方程中參數的方程，解出參數值即可得到圓錐曲線方程，要求平面幾何中相似等數學知識必須十分熟練。
  • 直線與圓錐曲線,何時四邊形面積最大,練基礎這題型不錯
    高中數學，直線與圓錐曲線，何時四邊形面積最大，練基礎這題型不錯。題目內容：平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：x^2/6＋y^2/3＝1(a＞b＞0)右焦點的直線x＋y－√3＝0交M於A，B兩點；C，D為M上兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值。
  • 2021高考數學152個核心題型,1000個優選高考試題!吃透不下125!
    現在大多數學校老師都還停留在做題、講題的刷題模式，很少會引導你去歸納題型。 但題目是無窮無盡的。所以很多學生即使做了很多題，投入很大精力，成績還是不理想, 因為刷的很多題目都是沒用的，甚至高考根本不可能考查！高考數學就是萬變不離其宗，萬變的是題目，不變的是題型。
  • 很多人說:誰會圓錐曲線,高考數學必定是學霸
    有人說，如果不會解圓錐曲線相關問題，高考數學就不可能得高分。這句話看似誇張的話，其實一點也不誇張，除了說明圓錐曲線相關知識內容的重要性之外，更強調此類題型一直是高考數學必考的重點和熱點。解答題主要是以圓或橢圓為基本依託，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關係，除了本身知識的綜合，還會與其他知識如向量、函數、不等式等知識構成綜合題，多年高考壓軸題是解析幾何題。因此，你若想在高考數學中取得優異的成績，就必須在高考來臨之前學會這塊知識內容。
  • 吳國平:學會運用數形結合思想來解決直線與圓錐綜合問題
    如直線與圓錐曲線相結合的綜合問題，一直是高考數學中的重點和必考內容。大部分情況下，直線與圓錐曲線綜合問題都是作為高考壓軸題的形式出現。因此，如果你想在高考數學中把該類試題的分數拿到手，那麼你就必須對直線和圓錐曲線各個知識點非常熟悉。如直線與圓錐曲線中關於根與係數的關係、弦長公式、點差法、判別式等等，這些知識點都是歷年高考數學考查比較多的地方。